Estabilidad

Estabilidad

1. La ausencia de esta propiedad vuelve inútil en la práctica a cualquier sistema.

2. Estabilidad de entradas y salidas limitadas, comúnmente denominada estabilidad BIBO (Bounded Input Bounded Output).

   • Definiciones de estabilidad BIBO
     • 1. Un sistema es estable si responde en forma limitada a una excitación limitada.
     • 2. Un sistema estable es aquel en que los transitorios decaen, es decir, la respuesta transitoria desaparece para valores crecientes del tiempo.
     • Para que un sistema sea estable las raíces de la ecuación característica deben ser negativas o con parte real negativa. Esto es ya que la ecuación característica representa la parte transitoria (homogénea) de la ecuación que rige el sistema.
       • La estabilidad no depende de la entrada sino que es una característica propia del sistema.
         • Estabilidad limitada
           • Es el caso que sirve de frontera entre la estabilidad absoluta y la inestabilidad, y se presenta cuando las raíces de la ecuación característica tienen partes reales iguales a cero.
             • La respuesta resulta ser una oscilación permanente cuya amplitud ni crece ni decae en el tiempo. Esto es el caso de   0 para un sistema de segundo orden por ejemplo.
               • Conclusión
                 • 1. Un sistema es estable si todas la raíces de la ecuación característica son negativas o con parte real negativa.
                 • 2. Un sistema es inestable, si tiene en su ecuación característica alguna raíz positiva o con parte real positiva.
                 • 3. Un sistema tiene estabilidad limitada si alguna de sus raíces son pares de imaginarios puros. Una raíz cero no influye sobre la estabilidad porque la respuesta no es oscilatoria.
                 • 4. Si el polinomio de la ecuación característica tiene algún coeficiente ausente o negativo entonces el sistema es inestable.

3. Para hallar la estabilidad de cualquier sistema, se pueden utilizar métodos para facilitar la operación, Ya que en algunos casos si el polinomio es de orden elevado será poco práctico encontrar las raíces.

   • Criterio de Routh
   • Criterio de Hurwitz
   • Criterio de la fracción continuada
   • Estos métodos sirven para hallar la estabilidad de ecuaciones características en forma de polinomios.

4. Criterio de Estabilidad Routh

   • Criterio de Estabilidad Routh Es un método que sirve para determinar si la ecuación característica tiene o no raíces con parte real positiva sin necesidad de determinar el valor preciso de estas raíces.
     • Y sirve para determinar la estabilidad de un sistema cuya ecuación característica es de orden n en el dominio del tiempo en el dominio de Laplace Y esta se aplica usando la tabla de Routh
       • El criterio de Routh dice que:
         • 1. Todas las raíces de la ecuación característica tienen partes reales negativas si todos los elementos de la primera columna de la tabla de Routh tienen todos el mismo signo. 2. De lo contrario el número de raíces con partes reales positivas es igual al número de cambios de signo. 3. Si existe un cero no terminal el sistema tiene un par de raíces imaginarias puras. 4. Si existen ceros terminales implica una raíz cero.
         • Observaciones al criterio de Routh
           • 1. Si alguno de los coeficientes de la ecuación característica es cero se concluye que el sistema es inestable y no es necesario construir la tabla de Routh. 2. Si alguno de los coeficientes de la ecuación característica es negativo se concluye que el sistema es inestable y no es necesario construir la tabla de Routh. 3. Todos los elementos de una fila cualquiera pueden multiplicarse o dividirse por una constante no negativa sin que se perturben las propiedades de la tabla. 4. Si el primer valor de una fila es cero, mientras que los otros valores no lo son el procedimiento consiste en sustituir el cero por un ε pequeño y positivo, y se continua el arreglo.

5. Criterio de estabilidad de Hurwitz

   • Este criterio es otro método para determinar si todas las raíces de una ecuación característica tienen partes reales negativas. Este criterio se aplica por medio del uso de determinantes formados con los coeficientes de la ecuación característica.
     • El criterio de Hurwitz dice que dice que todas las raíces de la ecuación característica serán negativas o con parte real negativa si los determinantes son positivos (delta i>0 para i = 1,2...n ). Por supuesto al igual que para el criterio de Routh si existe algún coeficiente ausente o negativo en la ecuación característica se puede concluir que el sistema es inestable y no es necesario aplicar el método.

6. Análisis de estabilidad de sistemas en Espacio de Estado

   • En un sistema expresado en forma de espacio de estado: X=Ax+Bu Y=Cx
     • La estabilidad depende de lo “Valores Propios” de la matriz A de ݊n por ݊n elementos. Esto ya que es la matriz A la que representa el sistema en si, por lo tanto donde se encuentra la información de la ecuación característica.
       •  Si todos los valores propios son negativos o con parte real negativa entonces el sistema será estable  Si existe un par de valores propios imaginarios puros el sistema tendrá estabilidad limitada  Si existe algún valor propio positivo o con parte real positiva el sistema será inestable