LIMITE Y CONTINUIDAD

LIMITE Y CONTINUIDAD

1. límite

   • definición informal
     • el límite de una función f(x) es T cuando x tiende a s, siempre que se puede hallar para cada ocasión un x cerca de s de manera tal que el valor de f(x) sea tan cercano a T como se pretenda.
       • lim f( x ) = T (x → s)
   • formalmente
     • El límite de una función f(x), cuando x tiende a c es L si y sólo si para todo a>0, existe un b>0 ; tal que 0<|x-c|<b para todo número real x en el dominio de la función, si entonces f(x)-L<a
   • denotación formal

2. Continuidad

   • Una función es continua si su gráfica puede dibujarse de un sólo trazo.
   • una función es continua en el intervalo I = [a,b]
   • La función f es continua en el punto c si lim f ( x ) = f ( c ) x → c
     • Esto quiere decir que la función es continua en c si la imagen del punto c, es decir, f(c), coincide con el valor que se espera que tenga f(c) (el valor que se espera es el límite).
     • de lo contrario es discontinua

3. HISTORIA

   • siglo XVII
     • el cálculo diferencial e integral surgió
       • finales del siglo XIX
         • el concepto de función vino a conocerse
           • Leonhard Euler intenta por primera vez dar una definición formal del concepto de función
             • ``Una función de cantidad variable es una expresión analítica formada de cualquier manera por esa cantidad variable y por numeros o cantidades constantes''
             • realiza un estudio sistemático de todas las funciones elementales, incluyendo sus derivadas e integrales
   • Rene Descartes(1596-1650)
     • mostró en sus trabajos de geometria que tenía una idea muy clara de los conceptos de ``variable'' y ``función'', realizando una clasificación de las curvas algebraicas según sus grados
     • "los puntos de intersección de dos curvas se obtienen resolviendo, en forma simultanea, las ecuaciones que las representan."

4. NEWTON Y LEIBNIZ

   • Su construcción fue parte importante de la revolución científica que vivió la Europa del siglo XVII.
     • supuso una ruptura con las formas de pensar, estudiar y vincularse con la naturaleza que dominaron casi absolutamente en Europa entre los siglos V y XV.
   • Unificaron y resumieron en dos conceptos generales, el de integral y derivada, la gran variedad de técnicas diversas y de problemas que se abordaban con métodos particulares.
     • Desarrollaron un simbolismo y unas reglas formales de cálculo que podían aplicarse a funciones algebraicas y trascendentes, independientes de cualquier signicado geométrico, que hacía casi automático, el uso de dichos conceptos generales.
       • Reconocieron la relación inversa fundamental entre la derivación y la integración.
   • l e i b n i z
   • n e w t o n

5. ANALISIS DE CONCEPTOS POR MEDIO DE MAPA CONCEPTUAL TOMADO EN LINEA

   • completos créditos a: https://www.ugr.es/~lrico/MasterSec _files/Fernandez%20Plaza%20TFM.pdf

6. SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN

   • simbólica
     • En el caso (1) consideramos la función f(x) en su notación simbólica. En el caso (2) queremos expresar que el límite de esa función en x=2 es 7.En el caso (3) se escribe la definición formal de límite y es el que se debe usar para comprobar con rigor que 7 es límite de f(x) en x=2
     • gráfica
       • verbal
         • se manifiesta en la comunicación oral de resultados
           • “El límite de la función f(x) en x=a es L”
           • “La función f(x) tiende a L cuando x tiende a x=a”
           • “La función f(x) tiene una asíntota vertical en x=a”
           • “La recta y= b es una asíntota horizontal de f(x) en ±∞”
         • numérica

7. FENÓMENOS E INTERVENCIÓN

   • tasa de cambio en el tiempo
     • La velocidad es la derivada, con respecto al tiempo, de la posición de un objeto
   • en construcción
     • Para saber la mayor capacidad de luz por una ventana, o la capacidad de un canal de agua, calcular el tamaño de un terreno etc
       • capacidad de movimiento
         • La resistencia a la velocidad se manifiesta, con la rapidez gestual y la fuerza-rápida cuando necesitamos ejecutar acciones cortas, explosivas y repetitivas.
           • planetas
             • las naves espaciales usan una variación del método de Euler para aproximar trayectorias curvas dentro de entornos de gravedad cero.
       • crecimiento de naturaleza
         • el desarrollo morfológico de los organismos pueden predecirse a partir de modelar señales genético-químicas como ecuaciones diferenciales de reacción-difusión.
           • ingenieria electrica
             • el cálculo es indispensable para entender las propiedades de cualquier circuito eléctrico que involucre capacitores o inductores.
   • mecanica relativista
     • presentan singularidades como elemento esencial de discontinuidad.
       • economía
         • elaborar gráficas en beneficio de la empresa para saber elementos como el nivel de producción y encontrar el menor costo posible y así hacer una mayor ganancia
           • biología
             • en evolución y genética de poblaciones, la ecuación de Price se usa para estudiar los cambios de las características heredables en función de su ventaja selectiva.

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