TEORIA dos CONJUNTOS

TEORIA dos CONJUNTOS

1. Professor Luciano

2. Professor Edson

3. União de Conjuntos:

   • Conjunto união é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a, pelo menos, um dos conjuntos envolvidos na operação. Formalizando a ideia para dois conjuntos. Exemplo: A= { a, b, c, 2, 3}; B= { 0, 1, 2, 3}; AUB= { a, b, c, 0, 1, 2, 3}

4. Interseção de Conjuntos:

   • Conjunto interseção é o conjunto formado por todos os elementos comuns a todos os conjuntos envolvidos na operação. Exemplo: A= { 2, 3, 5}; B= { 3, 1, 4}; A∩B= {3}

5. Subtração, ou Diferença Entre Conjuntos:

   • O conjunto diferença entre dois conjuntos é aquele formado por todos os elementos que pertencem ao primeiro conjunto e não pertencem ao segundo. Exemplo: A= { 2, 3, 7, 8}; B= { 3, 4, 7, 8} A - B= { 2}

6. O fundamento da teoria de conjuntos foram lançados no final do século XIX, a partir dos trabalhos de George Cantor (1845 - 1918). A partir de então, essa teoria passou por um forte processo de desenvolvimento, dando suporte a diversos ramos da matemática e influenciando outras áreas do conhecimento, dentre elas a Ciência da Computação

   • A Teoria dos Conjuntos é uma ferramenta de auxílio na resolução de situações-problema.

7. Conjunto e Elemento:

   • Definições
     • Embora os conceitos de conjunto e elemento sejam primitivos (não definidos), pode-se entender conjunto como uma coleção de objetos quaisquer, enquanto seus componentes são denominados elementos. Exemplo: P= { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} <-- Nesse conjunto, os elementos são 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
   • Representações de Um Conjunto
     • É bastante comum que uma letra maiúscula seja utilizada para indicar um conjunto, mas também se pode representá-lo sob as seguintes formas: Tabular (ou analítica) – Em que os elementos são colocados entre chaves e separados por vírgula. Exemplo: R= {a, m, t}. De uma propriedade – Em que os elementos obedecem a uma determinada propriedade. Exemplo: S= { x | x é natural menos que seis} De diagrama – Em que os elementos são representados por pontos no interior de uma curva fechada simples e plana.
   • Número de Elementos
     • Por definição, n(A) indica o número de elementos do conjunto A.
   • Relação de Pertinência
     • Para indicar que um dado elemento pertence a um conjunto, utiliza-se o símbolo Símbolo ∈ , enquanto o símbolo ∉ indica que o elemento não pertence a um conjunto.
   • Igualdade de Conjuntos
     • Dois conjuntos, M e N, são iguais quando todo elemento de M é também elemento de N. Reciprocamente, todo elemento de N é também elemento de M. Observe que, na definição de igualdade de conjuntos, a ordem e a repetição de elementos não são relevantes. Assim, são exemplos de conjuntos iguais: -{ 1, 2, 3} = { 3, 1, 2} = { 2, 2, 3, 3, 3, 1, 2, 1} -{ x | x é divisor natural de 20} = { 1, 2, 4, 5, 10, 20} -Já no caso de A= { 1, 2, 3} e B= { 7, 1, 2, 3}, 7 ∈ B e 7 ∉ A. Dessa forma, A ≠ B. -Dois conjuntos são iguais se possuírem os mesmos elementos.

8. Subconjuntos e relação de inclusão

   • Observe os conjuntos A= { 1, 2, 3, 4, 5, 6} e B= { 1, 3, 5} . Todos os elementos do conjunto B também são elementos do conjunto A. Nesse caso diz-se que o conjunto B é um subconjunto de A, ou que B está contido em A. De forma equivalente, também se pode dizer que A contém B. Assim, um subconjunto de A é todo conjunto formado com elementos de A.
   • Notações possíveis: A ⊃ B (leia: A contém B). B ⊂ A (leia: B está contido em A).
   • Dados dois conjuntos X e Y, se pelo menos um elemento de Y não pertence a X, diz-se que X não contém Y ou, se preferir, que Y não está contido em X. Simbolicamente, representa-se esse fato da seguinte maneira: X ⊅ Y (leia: X não contém Y)

9. Conjuntos notáveis

   • Conjunto unitário – É o conjunto que possui apenas um elemento.
     • Exemplo: A= { x ∈ ℕ | x é par e primo} = {2}
   • Conjunto vazio – É o conjunto que não possui elemento.
     • Exemplo: B = { x ∈ ℝ | x² = -1} = {}
   • Conjunto finito – É o conjunto que possui número finito de elementos.
     • Exemplo: P = { 1, 2, 3, ......, 100} . O conjunto P possui 100 elementos.
   • Conjunto infinito – É o conjunto que possui número infinito de elementos.
     • Exemplo: H = { x | x é múltiplo positivo de 10} = { 10, 20, 30, 40, ......}

10. Matemática

11. Conjuntos Numéricos

    • Números Naturais -N= { 0, 1, 2, 3, 4 } Números Inteiros - Z= { -3, -2, -1, 0, 1, 2 } Números Racionais - Q= { -1, 0, 1, ½, ²√4, etc} Números Irracionais I= { ²√2, π, ²√3, etc }