CONJUNTOS

CONJUNTOS

1. ¿Que son?

   • Es un grupo de objetos llamados "Elementos" que comparten entre si características o propiedades semejantes. Los conjuntos numéricos son agrupaciones de números que guardan una serie de propiedades estructurales. Por ejemplo, el sistema más usual en aritmética natural está formado por el conjunto de los números naturales, con la suma, la multiplicación y las relaciones usuales de orden aditivo.
     • Ejemplo
       • Un grupo de personas, animales, etc. es decir, un grupo que tiene algo en común, matemáticamente se puede describir o definir, esto es lo que llamamos "Un Conjunto", por tanto, básicamente Un Conjunto es un grupo de elementos.
         • surgimiento
           • En el siglo XXII a. de C para poder realizar importantes obras, los babilonios tuvieron que desarrollar un sistema de numeración útil, el mismo era de base 60 (a diferencia del actual, que es de base 10). Los chinos también conocían las fracciones, y sabían reducir a común denominador. Llamaban "hijo" al numerador, y "madre" al denominador. La escuela pitagórica (siglo V a. de C.) descubrió que sólo con los números naturales y las fracciones no pueden realizarse todas las medidas posibles.
             • Existían pares de segmentos, como la diagonal y el lado de un cuadrado, cuyo cociente de longitudes no es una fracción y llamaron a tal razón "alogos" o irracional. Hacia el año 500, en la India se plasmaron los orígenes de nuestro sistema de numeración, aceptaron las soluciones negativas de las ecuaciones, al tiempo que admitían como números las raíces de otros números que no podían ser expresados mediante números racionales.
               • Durante el siglo XVI, se popularizó el uso de la barra horizontal para separar los términos de una fracción, se solucionaban algunos problemas y surgían otros como por ejemplo resolver ecuaciones de segundo grado y otras de grado mayor, empezaron a encontrarse expresiones, como la raíz cuadrada de números negativos que no se sabían interpretar, de aquí surge nuevo tipo de números, que denominaron ficticios, como solución a las raíces cuadradas de números negativos.
                 • Las dificultades, y con ellas el verdadero desarrollo de la Teoría de Conjuntos, comenzaron a aparecer al evidenciarse la conexión entre conjunto, número y magnitud con la cual se lograba el viejo sueño de unificar en una sola raíz todo el conocimiento matemático. Los conjuntos numéricos fueron elaborados lentamente a través de los tiempos. Incluso en los tiempos numéricos; las tribus mantenían normas muy primitivas y tenían los conceptos numéricos muy atrasados.
                   • En el mundo occidental antiguo (Babilonia, Grecia, Egipto y Roma) los Babilonios y griegos desarrollaron elevados conocimientos de matemáticas. Realizaron importantes obras agrícolas y arquitectónicas, los babilonios tuvieron que desarrollar en el siglo XXII a. de c., un sistema de enumeración útil. Su sistema de numeración era de base 60 (a diferencia del actual, que es base 10); dividían la unidad en 60 partes (de forma similar a como dividimos una hora en 60 minutos). Los sumerios utilizaban este sistema de numeración, y realizaban complicados cálculos aritméticos.
                     • La teoría de conjuntos es un tema de las matemáticas que tiene un objeto de estudio propio, con metodologías propias, relacionadas con otras teorías matemáticas tradicionales, por lo que se puede afirmar que el resto de la matemática se puede expresar en termino de conjuntos. Georg Cantor (1845-1918) matemático físico y filósofo alemán de origen ruso considerado como padre de la teoría de conjunto.
                       • El problema de los números irracionales no se resolvió por completo hasta el siglo XVII, cuando Fermat, matemático francés que puede ser considerado el padre de la moderna teoría de números, demostró que expresiones como raíz cuadrada de 3 no eran números racionales. Sólo quedaba por resolver el problema de las raíces negativas; y esto ocurrió en 1777, cuando Euler dio a la raíz cuadrada de -1 el nombre de i (imaginario) y en 1799, Gauss acabó de resolver el problema al demostrar que las soluciones de cualquier ecuación algebraica, fuera cual fuese su grado, pertenecía a un conjunto de números que él llamó complejos, a los que consideró compuestos de un número "ordinario" (hoy lo llamamos número real)

2. ¿Que conforma un conjunto?

   • 1) A los elementos hay que agruparlos o coleccionarlo de una manera bien definida. 2) Ningún elemento del conjunto se debe contar mas de una vez si un elemento se repite se debe quitar 3) El orden de los elementos no tiene importancia
     • La notación de conjunto
       • El conjunto se denota con letras mayusculas de nuestro alfabeto, por Ejemplo: A= la agrupación de números naturales menores de 10. Esta determinación corresponde a la manera como esta se puede expresar, y para esto se utilizan:
         • Determinación por extensión: cuando se enumera o se nombran los elementos del conjunto, cuando el conjunto es finito se representa entre llaves, separado por comas y cuando es infinito se representa entre llaves y se ponen puntos suspensivos Ejemplo: A= {m, u, r, c, i, e, l, a, g, o}
         • Determinación por comprensión: se determina por comprensión enunciando la propiedad o cualidad que diferencia a los elementos ejemplo: A= {x/x es un color de la bandera de Colombia}

3. Relaciones de conjuntos

   • Las relaciones que se pueden dar entre conjunto son: pertenencia, inclusión e igualdad.
     • Relación de pertenencia: representado por la letra E, que fue descubierto por el filósofo matemático italiano, Giuseppe Peano (1858-1932).
     • Relación de inclusión: esta relación se utiliza para indicar que el conjunto A es subconjunto del conjunto B se representa así: A⊆B se lee A es subconjunto de B, A esta incluido en B, A este contenido en B, B incluye a A.
     • Relación de igualdad: Se dan cuando todos los elementos de A están en B o viceversa. La igualdad de dos conjuntos Ay B se denota de la siguiente manera: A=B

4. Tipos de conjuntos

   • Conjunto vacío
     • Conjunto que no tiene elementos, representado por el símbolo Ǿ.
       • Ejemplo:
         • Ǿ = { }
   • Conjunto finito
     • Es aquel que su cantidad de elemento se puede contar, es decir que sus elementos se pueden nombrar o enumerar.
       • Ejemplo:
         • A = { a, e, i, o, u} Z = { x\x es una palabra }
   • Conjunto infinito
     • Es aquel que su cantidad de elemento no se puede contar, es decir que sus elementos no se pueden nombrar o enumerar.
       • Ejemplo:
         • P = { a\a es par } Q = { 0, 3, 6, 9,... }
   • Conjunto universal
     • Es aquel que contiene todos los elementos en estudio y es representado con la letra U.
       • Ejemplo:
   • Conjunto unitario
     • es aquel que solo contiene un solo elemento.
       • Ejemplo:

5. Operaciones de conjuntos

   • Intersección de conjuntos:
     • es el conjunto formado por todos los elementos repetidos y se denota simbólicamente así: A∩B
       • Ejemplo:
   • Unión de conjuntos
     • es el conjunto formado por todos los elementos en común y no común de ambos conjuntos (sin repetir elementos) y se denota así: AUB.
       • Ejemplo:
   • Diferencia de conjuntos
     • la diferencia es el conjunto formado por todos los elementos no comunes del conjunto B respecto al conjunto Ab es decir los elementos que están en A pero que no están en B y se denota de la siguiente manera: A-B.
       • Ejemplo:
   • Diagramas de Venn
     • Es frecuente utilizar ciertos diagramas, llamados diagramas de Venn, para representar a los conjuntos. Un conjunto se representa con una línea curva cerrada, y sus elementos con puntos en el interior. Por ejemplo, el diagrama de Venn para el conjunto A = {a, b, c, d}.
       • Ejemplo:
   • Subconjuntos
     • Consideremos los conjuntos A = {1, 3, 5}, y B = {1, 2, 3, 4, 5}. Como podemos ver, los elementos de A: 1, 2 y 3, también son elementos de B. Decimos entonces que A es un subconjunto de B, o que A esta incluido en B.
       • Ejemplo:
   • Intervalos de números reales
     • Un intervalo de números reales es un subconjunto de R que tiene la siguiente propiedad: dados dos números a y b en el intervalo, todos los números comprendidos entre a y b también pertenecen al intervalo. Gráficamente, un intervalo se identifica en la recta real con un segmento o una semirrecta, con o sin sus extremos, o con toda la recta real.
       • Ejemplo:
         • El conjunto {x | 2 ≤ x ≤ 8}
   • Cardinalidad
     • Si un conjunto A tiene una cantidad finita de elementos, diremos que es un conjunto finito y llamaremos cardinal de A al número de elementos de A. El cardinal del conjunto vacío es 0, y si el conjunto tiene una cantidad no finita de elementos diremos que es un conjunto infinito y que su cardinal es infinito. En todos los casos, el cardinal del conjunto A se denota |A| o también #A.
       • Ejemplo:
         • Si A = {a, b, c, 5, 4}, entonces |A| = 5. 2. Si B = {n | n ∈ N y n 2 = 2}, entonces |B| = 0. 3. Si C = {a, a, b}, entonces |C| = 2. 4. |Z| es infinito
   • El conjunto de partes
     • El conjunto de partes de un conjunto A es el conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A. Lo denotamos P(A). EJEMPLO 1.19. A = {1, 2, 3} entonces P(A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}. EJEMPLO 1.20. B = {a} entonces P(B) = {∅, B} = {∅, {a}}. EJEMPLO 1.21. P(N) = {∅, {1}, {2}, {3},.. , {1, 2}, {1, 3}, . . . , {2, 3}, . . . }, tiene infinitos elementos. Si A es un conjunto finito, digamos de n elementos, entonces el cardinal2 del conjunto de partes es 2 n.
       • Ejemplo:
         • para A = {1, 2, 3}, tenemos que |A| = 3 y |P(A)| = 8. Para B = {a}, tenemos |B| = 1 y |P(B)| = 2. También se cumple que |∅| = 0, y |P(∅)| = |{∅}| = 1.

6. Propiedades de los conjuntos

   • Propiedades de los conjuntos Sean los conjuntos, A, B C dentro del universo U. Las seis propiedades que rigen las operaciones con esos conjuntos son las siguientes:
     • 1. Propiedades de identidad: A∪ φ = A A∪U = U A∩U = A A∩φ = φ
       • 2. Propiedades de idempotencia: A∪ A = A A∩ A = A
         • 3. Propiedades de complemento: A∪ 'A = U A∩ 'A = φ
           • 4. Propiedades asociativas: (A∪ B) ∪C = A∪ (B ∪C) (A∩ B) ∩C = A∩ (B ∩C)
             • 5. Propiedades conmutativas A∪ B = B ∪ A A∩ B = B ∩ A
               • 6. Propiedades distributivas A∪ (B ∩C) = (A∪ B) ∩(A∪C) A∩ (B ∪C) = (A∩ B) ∪(A∩C)
   • Leyes de d’morgan
     • Estas leyes establecen los complementos de la unión e intersección entre conjuntos: Primera ley. El complemento de la unión de dos conjuntos es la intersección de sus complementos.
   • Producto cartesiano de dos conjuntos y su gráfica
     • Es el conjunto formado por todos los pares ordenados (x,y) tales que x es un elemento de A y también y es un elemento de B se simboliza AXB y se denota como: AXB = {(x,y) | x ∈ A y además y ∈ B} Expresión que se lee “A cartesiano B”. ` “A cartesiano B” es un conjunto cuyos elementos son pares ordenados, donde el primer elemento de cada par pertenece al conjunto A y el segundo al conjunto B. El producto cartesiano de conjuntos no es conmutativo.
   • Conjunto potencia
     • : El conjunto potencia es el conjunto que tiene por elementos a todos los subconjuntos de un conjunto. Es decir, el conjunto potencia ?(?) es el conjunto formado por todos los subconjuntos de ?. La cardinalidad del conjunto potencia se puede determinar utilizando la expresión 2 ? , donde ? corresponde al número de elementos del conjunto.
       • Ejemplo:
         • Dado el conjunto ? = {1, 2, 3, 4}. El conjunto potencia ?(?) es: ?(?) = {{1},{2},{3},{4},{1, 2},{1, 3},{1, 4},{2, 3},{2, 4},{3, 4},{1, 2, 3},{1, 2, 4},{1, 3, 4},{2, 3, 4},{1, 2, 3, 4}, ∅} El conjunto ? tiene ? = ? elementos, la expresión ? ? = ? × ? × ? × ? determina la cantidad de subconjuntos que se pueden formar con los elementos de ?. Es así que el conjunto potencia de ? está formado por 16 elementos.

7. Características de las operaciones de conjuntos

   • Suma
     • En la suma podemos operar con conjuntos de elementos de distintos tipos, así podemos sumar un conjunto (igual) formado por 5 manzanas con un conjunto (igual) formado por 8 naranjas y obtendremos un conjunto (homogéneo -- frutas) formado por 13 frutas.
   • Resta
     • En la resta vemos que a un conjunto cualquier solo podemos restarlo parte de sus elementos, pero no restarle números ni otros elementos que no tienen. Así al conjunto de frutas anterior (las trece frutas) podemos restarle parte de ellas, por ejemplo, 4 manzanas y obtener distintos tipos de subconjuntos, que como en este caso nos queda un conjunto formado por 1 manzana y 8 naranjas.
   • Multiplicación
     • Hemos visto que podemos multiplicar conjuntos por número, pero no conjuntos entre sí. Así podemos multiplicar 6 zanahorias por el número 4 y obtener un nuevo conjunto formado por 24 zanahorias.
   • División
     • La división tiene un espectro de operación más amplio y podemos dividir tanto conjuntos por números como conjuntos por conjuntos. Así, podemos dividir 60 euros por el número seis, y también podemos dividir 60 euros entre seis personas. Por tanto, podemos dividir cualquier elemento entre otros igual o diferente. Esto nos lleva incluso a poder dividir conjuntos vacíos entre ellos mismos y entre otro tipo de conjuntos.

8. Álgebra de conjuntos

   • El álgebra de conjuntos tal como la de proposiciones es un sistema axiomático consistente, completo e independiente; se utiliza básicamente para demostrar la igualdad entre conjuntos o construir y simplificar conjuntos complejos y siempre que tengan determinadas propiedades.
     • Signos lógicos
       • Corresponde a los conectivos que se trataron en el capítulo de lógica proposicional y cuantificacional, son ellos:
     • Signos específicos
       • Estos signos también se reconocen como signos de relación en la teoría de conjuntos y se utilizan tres:
         • Letras:
           • Se usan letras mayúsculas y minúsculas con o sin índices y subíndices.
         • Signos de agrupación
           • Se usan paréntesis “(” y “)”, además, las llaves “{” y “}”.
         • Signos de operación
           • Llamados también operadores de conjuntos; ellos son:
             • Intersección: ∩
             • Unión: ∪
             • Diferencia: −
             • Complemento: '
     • Conjunto potencia
       • El nombre de conjunto potencia proviene del hecho de que, si un conjunto A tiene n elementos, la cantidad de subconjuntos que se pueden formar con los elementos de A es 2n. Este conjunto también se conoce como conjunto de partes de un conjunto Sean A y X conjuntos cualesquiera; el conjunto formado por todos los subconjuntos de A de denomina conjunto potencia y se denota por P(A). Simbólicamente:

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