VETORES

VETORES

1. Retas e Segmentos de restas

   • RETAS E SEGMENTOS 
   • Reta Orientada: é considerado uma reta orientada quando é colocado nela um sentido no percurso, sendo indicado por uma seta.
     • RETA ORIENTADA É considerado uma reta  orientada quando e colocado nela um sentido de percurso. sendo indicado por uma seta 
   • Segmento Orientado: .possuí um por um par ordenado de pontos, o primeiro ponto chamado de origem e o segundo de extremidade.
   • Segmento Nulo: é aquele que a extremidade coincide com a origem .
   • Segmento Oposto: se AB e um segmento orientado, o segmento BA será o oposto de AB.
   • Medida de um Segmento: a medida de um segmento de reta é o número que se obtém comparando com este segmento com um segmento padrão tomado como unidade de comprimento
     • Direção e Sentido
       • Retas Paralelas
       • Retas Coincidentes
   • Segmentos Equipolentes: são segmentos que possuem o mesmo comprimento, sentido e direção com as mesmas características
     • Propriedade da equipolência 1)Reflexiva: AB~AB. 2)Simétrica: AB~CD, CD~AB. 3)Transitiva: AB~CD e CD ~ EF, AB~EF. 4) Dado o segmento orientado AB e um ponto C, existe um único ponto D tal que AB~CD.

2. Vetor: é um conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a AB. Sua representação simbólica e através de uma seta na parte superior do conjunto de letras .

   • Características de um Vetor:
     • Sentido: trata-se de onde o vetor atua de acordo com sua direção, assim os vetores podem ser para direita, esquerda, para cima, baixo, norte sul e etc.
       • Tipos de Vetores:
         • Vesor: vesor de um vetor não nulo V é o vetor unitário como mesma direção e sentido de V.
         • vetores Opostos: dois vetores, um oposto a outro, contendo o mesmo módulo, mesma direção e apenas sentidos diferentes. Ex: V=(x,y) e outro vetor -V=(-x,-y).
         • Vetores Iguais: dois vetores AB ~ CD são iguais se, e somente se, AB ~CD.
         • Vetor Unitário: é um vetor V que seu módulo/tamanho são iguais a 1, ou seja, |V|=1.
           • Existem dois vetores que forma BASE CANÔNICA para o espaço R². > i=(1,0) j=(0,1). para construir um vetor U com direção e sentido iguais ao o vetor V, basta dividir o vetor V pelo seu módulo.
         • Vetor Nulo: é um vetor com seus valores iguais a zero. Ex: V=(0,0) ou V=(0,0,0)
         • Operações com Vetores:
           • Soma de Vetores: se V=(a,b) e W=(c,d), definimos a soma de V e W por: V+W=(A+C,B+D).
             • Propriedade da soma: Comutativa: para vetores U e V na R²= V+W=W+V. Associativa: para vetores U, W e V na R²= U+(V+W)=(U+V)+W. Elemento Neutro: existe o vetor O=(0,0) em R² tal que para todo vetor U de R², se tem: O+u=u. Elemento Oposto: para cada vetor V de R², existe um vetor -V em R²= V+(-V)=0
           • Diferença entre Vetores: se V=(a,b) e W=(c,d) definimos a diferença entre V e W por: V-W=(a-c,b-d)
           • Produto de um escalar por um vetor: se V=(a,b) é um vetor e C é um número real, definimos. C.V=(ca,cb)
             • Propriedade do produto de escala por vetor: quaisquer que sejam K e C escalares, V e W vetores:
         • Vetores Coplanares: quando dois vetores fazem parte do mesmo plano, o plano e representado por uma letra grega.
         • Vetores Colineares: dois vetores que tiverem a mesma direção, ou seja, pertence a mesma reta ou reta paralelas.
     • Módulo: É o valor numérico do vetor seguindo da unidade de medida que define a grandeza vetorial. É um número real real não negativo, definido por:
     • Direção; é a reta onde o vetor está localizado, e suas possíveis direções: horizontal, vertical e diagonal.

3. Produto Escalar: definimos o produto escalar entre os vetores U e V , como o número real obtido por: U. V = A.C+B.D

4. Ângulo entre Dois Vetores: o produto escalar entre os vetores U e V pode ser escrito na forma: U.V=|U| |V| cos(X). X é o angulo formado entre U e V.

   • Com o conceito de produto escalar, podemos obter o ângulo X entre dois vetores genéricos .

5. Vetores no R²: o conjunto R² = R x R = {(x,y)|x,y E R} é interpretado geometricamente como sendo o plano cartesiano XOY. Todo vetor AB considerado neste plano tem sempre um representante , cuja é a origem do sistema.

   • cada vetor do plano é determinado pelo ponto extremo do segmento . Desta forma o ponto P(x,y) E R² está associado ao vetor V = OP e escreve-se V= (x,y)
     • A origem do sistema O(0,0) é o vetor nulo.
     • O vetor simétrico de V = (x,y) é o vetor -V = (-x, -y)

6. vetores no R³: o conjunto R³ = R x R x R = {( x,y,z)|x,y,z E R é interpretado geometricamente como sendo o espaço cartesiano tridimensional OXYZ. Neste espaço, o ponto P(x,y,z) individualiza o vetor V = OP e escreve-se V = ( X,Y,Z).

   • A origem do sistema O(0,0,0) representa o vetor nulo. O vetor simétrico de V = (x,y,z) é o vetor -V = (-x,-y,-z).
     • Propriedades:

7. Ângulos Diretores e Cossenos de um Vetor: ângulos diretores de um vetor V= xi+yi+zk são ângulos alfa =, beta e Y forma com os vetores i, j e k, respectivamente .

   • Tabela de Ângulos de Cossenos Diretores:
     • Representação em Gráfico:
       • Propriedades:

8. Produto Vetorial: dados os vetores U = x1j+y1j+z1k e V = x2i+y2j+z2k, tomados nesta ordem chama-se produto vetorial dos vetores U e V, e se representa por U X V, ao vetor:

   • Cada componente desse vetor pode ainda ser expresso na forma de um determinante de 2°ordem:
     • Propriedade do
     • Produto
     • Vetorial

9. Produto Misto: Chame-se produto misto dos vetores, tomados nesta ordem, ao número real. Indica-se o produto misto por (u, v, w)

   • • Propriedades:

10. Universidade do Oeste de Santa catarina Matéria: Álgebra Linear e Geometria Analítica. Professor: Marcel Grando. Aluno: Matheus Roberto da Silva Gouveia. MAPA MENTAL DE VETORES/ 1°SEMESTRE

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