Logica Matematica.

Logica Matematica.

1. 3.1 Lógica Proporcional

   • Intenta esclarecer nuestra comprensión de la noción de consecuencia lógica para el rango de argumentos que analiza.
     • Fórmulas
       • representan proposiciones
     • Conectivas Lógicas
       • Son operaciones sobre dichas fórmulas

2. 3.1.2 Tablas de verdad

   • Es una tabla que muestra el valor de verdad de una proposición compuesta, para cada combinación de verdad que se pueda asignar.

3. 3.1.1 Proposiciones simples y compuestas

   • Son aquellas que contienen dentro de sí más de una proposición simple.
     • Disyunción
       • Devuelve el valor de verdad verdadero cuando una de las proposiciones es verdadera, o cuando ambas lo son, y falso cuando ambas son falsas.
     • Conjunción
       • Devuelve el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones son verdaderas, y falso en cualquier otro caso.
     • Condicional
       • Devuelve el valor de verdad falso sólo cuando la primera proposición es verdadera y la segunda falsa, y verdadero en cualquier otro caso.
     • Bicondicional
       • Devuelve el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad, y falso cuando sus valores de verdad difieren
     • Negación.
       • Devuelve el valor contradictorio de la proposición considerada.

4. 3.1.3 Tautologías, contradicción y contingencia

   • Tautologías
   • Contradicción
   • Contingencia

5. 3.1.4 Equivalencias lógicas

   • Dos afirmaciones son equivalentes si tienen el mismo valor de verdad en todos los modelos
   • Diremos que dos proposiciones P y Q son lógicamente equivalentes si es una tautología, es decir, si las tablas de verdad de P y Q son iguales.

6. 3.1.5 Reglas de inferencia

   • Regla de inferencia es un esquema para construir inferencias válidas.
   • Establecen relaciones sintácticas entre un conjunto de fórmulas llamados premisas y una aserción llamada conclusión.

7. 3.1.6 Argumentos válidos y no validos

   • Argumento Valido
     • Un argumento es válido si el hecho de que todas las premisas sean verdaderas obligan a que la conclusión sea verdadera..
     • Un argumento puede ser válido con premisas y conclusión verdaderas.
     • Tambíen puede ser válido con premisas falsas y conclusión verdadera, o incluso con premisas y conclusión falsas.
   • Argumento no Valido
     • Un argumento no válido es una falacia.
     • No es válido con premisas verdaderas y conclusión falsa.
   • Conclusión
     • Es consecuencia lógica de las premisas o que las premisas implican la conclusión

8. 3.1.7 Demostración formal

   • Demostración por el método directo
     • Entonces está implicación es verdadera sin importar los valores de verdad de cualquiera de sus componentes.
     • Si una fórmula tiene la forma A -> B y es una tautología, en donde A y B pueden ser proposiciones compuestas, entonces decimos que B desprende lógicamente de A y se representa por A = B.
   • Demostración por Contradicción
     • Es aquella proposición que siempre es falsa para todos los valores de verdad
       • Ejemplo:
         • Si se tiene p: “El coche es verde”, la proposición p∧p’ equivale a decir que “El coche es verde y el coche no es verde”. Por lo tanto se esta contradiciendo, es decir, es una falacia.
   • Están compuestas por razonamientos lógicos que avanzan desde una hipótesis hasta llegar a una afirmación.

9. 3.2 Lógica de predicados:

   • Se enfoca en las frases declarativas con mayor grado de detalle, considerando la estructura interna de las proposiciones.
   • La lógica de predicados se emplea como una técnica de especificación formal dentro de la metodología de la programación
     • Así un cierto conjunto puede ser presentado por la notación:

10. 3.2.1 Cuantificadores

    • Son símbolos que se emplean en las matemáticas discretas para poder señalar cuantos o los tipos de elementos que integran un conjunto o universo dado y que cumplen con determinada propiedad.
    • Nos podremos encontrar con una variedad de cuantificadores, aunque, entre los más empleados se cuentan: cuantificador universal y cuantificador existencial.
      • Existencial
        • La cuantificación existencial “Es la proposición en que existe un elemento que cumple con la condición"
          • Se denota con el símbolo ∃ x y se lee de las siguientes maneras: “hay un x tal que…)”, “hay al menos un x tal que…” o “para algún x…”.
      • Universal
        • El cuantificador universal indica que algo es cierto para todos las cosas o personas dentro del universo dado.
          • .Si deseamos indicar que A es verdadero para todos los posibles valores de x, escribiremos (∀x)

11. 3.2.2 Representación y evaluación de predicados

    • Capaz de representar todos los detalles expresados en las sentencias.
      • Al igual que las proposiciones, los predicados tienen un valor de veracidad, pero a diferencia de las preposiciones, su valor de veracidad, depende de sus términos.
    • Un predicado puede ser verdadero para un conjunto de términos, pero falso para otro.
    • Se ocupa únicamente de métodos de argumentación sólidos. Tales argumentaciones se denominan Reglas de Inferencia.
      • Ejemplo
        • Sea el enunciado: Todos los mamíferos son de sangre caliente. Expresado usando la simbología del predicado se tiene: A Mamíferos (X) –> Sangre caliente (X)

12. 3.3 Algebra Declarativa

    • Estructura algebraica que se forma con expresiones utilizando los conectivos lógicos.
      • Una expresión sintácticamente correcta se le llama fórmula bien formada (fbf) o simplemente fórmula
        • Se obtiene al aplicar una ó más veces las siguientes reglas:
          • Si p es una proposición lógica, es una fbf.
          • si F es una fórmula bien formada (fbf) también lo es (¬F).
          • Si p,q son fbf entonces también lo es (p*q) donde * es uno de los operadores binarios, ^ v → ↔.

13. 3.4 Inducción matemática

    • Método de demostración que generalmente se utiliza cuando se trata de establecer la veracidad de una lista infinita de proposiciones.
      • Como se usa
        • Una proposición p(n) es verdadera para todos los valores de la variable n si se cumplen las siguientes condiciones
          • Paso 3 (Tesis de Inducción): Se demuestra que p(k+1) es verdadera, es decir, p(k) -> p(k+1).
          • Paso 2 (Hipótesis de Inducción): Se supone que p(k) es verdadera , donde k es un número natural cualquiera.
          • Paso 1 (Caso base): La proposición p(n) es verdadera para n = Natural.

14. 3.5 Aplicación de la lógica matemática en la computación

    • La lógica computacional es la misma lógica matemática aplicada al contexto de las ciencias de la computación. Su uso es fundamental a varios niveles: en los circuitos computacionales, en la programación lógica y en el análisis y optimización (de recursos temporales y espaciales) de algoritmos.
      • Programación Logica
        • La programación lógica es un tipo de paradigmas de programación dentro del paradigma de programación declarativa. El resto de los subparadigmas de programación dentro de la programación declarativa son: programación funcional, programación basada en restricciones, programas DSL (de dominio específico) e híbridos
          • Sistemas expertos, donde un sistema de información imita las recomendaciones de un experto sobre algún dominio de conocimiento.
          • Demostración automática de teoremas, donde un programa genera nuevos teoremas sobre una teoría existente.
      • Algoritmos
        • un algoritmo es un conjunto prescrito de instrucciones o reglas bien definidas, ordenadas y finitas que permite realizar una actividad mediante pasos sucesivos que no generen dudas a quien deba realizar dicha actividad.
          • Un pseudocódigo es una combinación de símbolos (+, -, *, /, %, >, >=, <, <=, !=, ==, y, o, no), términos (Leer, Imprimir, Abrir, Cerrar, Hacer…Mientras, Mientras…Hacer, Para…Mientras, etc.)Y otras características comúnmente utilizadas en uno o más lenguajes de alto nivel.
      • Circuitos Computacionales
        • El nivel menos abstracto dentro de una computadora está constituido por circuitos electrónicos que responden a diferentes señales eléctricas, siguiendo los patrones de la lógica booleana
          • Existen ocho compuertas lógicas básicas con las cuales se pueden formar sistemas muy complejos: AND, OR, Inverter, Buffer, NAND, NOR, XOR y XNOR. Todas ellas son representadas mediante un símbolo y una tabla de valores de verdad

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