TRANSFORMAÇÕES LINEARES

TRANSFORMAÇÕES LINEARES

1. Definição

   • Sejam U e V espaços vetoriais, uma transformação linear T é uma função de U em V, T: U->V
     • Necessita satisfazer as condições:
       • i: T ( u + v) = T (u) + T(v)/ u,v E U
       • ii: T (α . u) = α T (u)/ α E R, u E U
       • Observações
         • i: Se U = V, T: U -> U dizemos que T é um operador linear
         • ii: Uma transformação linear preserva as operações básicas de um espaço vetorial
   • Casos Especiais
     • Transformação identidade
       • I: R^n -> R^n, I (u) = u
     • Transformação nula
       • T : U-> V, T (u) = 0
         • Ilustração gráfica:

2. Propriedades e operações

   • Propriedades
     • Seja U e V espaços vetoriais e T: U->V uma transformação linear
       • i: T(0) = 0
       • ii: T (α . u + β v) = α T (u) + β T (v) / α, β E R, u, v E U
       • Observações
         • 1 - Da propriedade i. temos um critério para identificar se T é não linear, se T (0) for diferente de zero, então podemos afirmar que T não é linear
           • T (0) = 0 não garante a transformação linear, é necessário verificar as condições da definição
         • 2 - Do item ii, podemos verificar que, dados u1,u2,...,un E U, α 1, α 2,...,α n, teremos
           • T(α 1u1 + α 2u2+...+ α nun) = α 1 T (u1) + α 2T u2 + ... + α n T(un)
         • 3- Se { u1,u2,...,un} é uma base de U e as imagens T (u1), T (u2), ..., T (un) são conhecidas, é sempre possível obter a imagem de T (u)/ u E U
   • Operações
     • Adição
       • Sejam T1 e T2 transformações lineares de U em V. Definimos a adição das transformações lineares T1 e T2 a transformação linear T1 + T2: U-> V, dado por:
         • (T1 +T2) (u) = T1 (u) + T2 (u) / u E U
         • Para Somar duas transformações lineares T1 e T2, as duas devem estar definidas de U em V
     • Multiplicação por escalar
       • Sejam T: U -> V uma transformação linear e α E R um escalar qualquer. O produto da transformação linear T pelo escalar α E R é a transformação linear α T: U -> V, dado por:
         • (α T) (u) = α T (u)/ u E U
           • Obs: (αT )(u) = α T (u) = T (α u)
     • T (-u) = - T (u)
     • T (u - v) = T (u) - T (v)

3. Aplicação composta

   • Sejam T1: U -> V e T2: V->W transformações lineares: a aplicação composta das transformações lineares T1 e T2, indicada por T2 ° T1, é a transformação linear que leva U em W, dado por:
     • (T2 ° T1) (u) = T2 (T1(u) / u E U
     • Observação
       • Como T1 e T2 são lineares, a aplicação composta T2 ° T1 também é linear
   • Propriedades
     • Sejam T1 e T2 transformações lineares de U em V, S1 e S2 transformações lineares de V em W e α E R. Temos:
       • S1 ° (T1+T2) = S1 ° T1 + S1 ° T2
       • (S1 + S2) ° T1 = S1 ° T1 + S2 ° T2
       • α ( S1 ° T2) = (α S1) α T2 = S1 ° (α T2)
       • T1 ° T2 É DIREFENTE DE T2 ° T1
       • T1 ° T1 é representada por T1^2

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