Transformação Linear

Transformação Linear

1. (Definição:)

   • Uma transformação linear T é uma função de U em V/ T: U --- V
     • Condições :
       • T(U) + T(V)
       • αT (U), α E IR
       • Caso respeite apenas uma condição não T não é linear
     • Polinômios:
       • T: Pn(X)
         • Pn -1(x)
           • d/dx Pn(x)= P´n(X)

2. (Propriedades da transformação:)

   • I- T(0) = 0
   • II- T(αu + β v) = αT(u) + βT(v)

3. (Especiais:)

   • Transformação Identidade:
     • I: IR^n --- IR^n, I(U) = U
   • Transformação nula:
     • T° : U ---V, T(V)= 0
   • Projeção ortogonal do IR ^2 no x:
     • T: IR^2 ---IR^2 --- T(U1 , U2) = (U1, 0)

4. (Aplicações composta:)

   • Propriedades:
     • S1° (T1+ T2)=S1°T+S1°T2
       • (S1+S2)T = S1°T + S2°T
         • α( S1° T2) = (αS1)°T2= S1°(αT2)
           • I°T2 ≠ T2°I
             • T1° T2 ---T^2

5. Teorema de existência e unicidade:

   • T: U --- V / T(U1)= V1 , T(U2)= V2... T(Un)= Vn

6. (Imagem:)

   • Conjuto de vetores, v∈ V--- u∈U
     • Im(T) = (v∈ V/ + (u)= v,u ∈ U)
       • I-) Im (T) c V
         • II-) Im(T) subespaço vetorial T(X) Y T^-1 (y) = X
           • Im(T)= U, T é sobrejetora

7. (Núcleo:)

   • Núcleo T denota por Ker(T)/N(T), conjuto de vetores que satisfaz T(U)=0
     • Ker(T)= (u∈ V/ T(u)= 0∈ V
       • I-) Ker(T) C U II-) Ker(T) S.V do espaço v. U III-) T:u for injetora/sobrejetora T= Bijetora

8. (Núcleo e imagem)

   • dim U= dim ker(T) + dim Im(T)

9. (Matriz: )

   • Seja A ∈ Mmxn
     • T:IR^n --- IR^n --- T(X)= Ax
       • T: u---v, u e v espaços vetoriais
         • Bases fixas B e B`, u e v
           • Canônicas (1,0) ,(0,1)