Cálculo Integral

Cálculo Integral

1. Definición

   • Es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación
     • Se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

2. fundamentos

   • Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.
     • Gottfried Leibniz (1646–1716) sistematizó el conocimiento en un cálculo de las cantidades infinitesimales e introdujo la notación utilizada en la actualidad.
   • Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.

3. métodos de integración

   • Si se consideran grupos de funciones elementales de un cierto tipo (polinómicas, fracciones racionales, trigonométricas, etc.) entonces el problema de encontrar la primitiva puede resolverse por los métodos de integración correspondientes.
     • Método de integración por sustitución
       • El método de integración por sustitución o por cambio de variable se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o antiderivada simple. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar a una integral de tabla para encontrar fácilmente su primitiva. Este método realiza lo opuesto a la regla de la cadena en la derivación.
     • Método de integración por partes
       • En el cálculo y en general en el análisis matemático, integración por partes es el proceso que encuentra la integral de un producto de funciones en términos de la integral de sus derivadas y antiderivadas. Frecuentemente usado para transformar la antiderivada de un producto de funciones en una antiderivada, por lo cual, una solución puede ser hallada más fácilmente.
     • Método de integración por cambio de variables
       • El cambio de variables es uno de los métodos más usados en la integración. Permite expresar la integral inicial mediante un nuevo integrando y un nuevo dominio siendo la integral equivalente a la primera. Para integrales simples de una sola variable si {\displaystyle u}u es la variable original y {\displaystyle v=\phi (u)}{\displaystyle v=\phi (u)} es una función invertible, se tiene:
         • El método de integración por partes es el que resulta de aplicar el siguiente teorema: si u = u(x) y du = u′(x) dx,a la vez v = v(x) y dv = v′(x) dx, entonces la integración por partes sería :

4. aplicaciones físicas

   • La densidad de un material ρ se define como la masa de una pequeña muestra de material reconocible dividido por el volumen que ocupa esta muestra.
     • Para un medio homogeneo, significa que la densidad ρ es constante en todas partes, y en consecuencia la masa de cualquier volumen V es ρV . Sin embargo, la densidad variable puede estar formada por una mezcla o compòsición de material homogeneo
       • Si la densidad del medio no es constante, la masa total del volumen es calculada sumando incrementalmente masas de cada elemento diferencial de 1 volumen dV . Y puesto que dm = ρ dV la masa total está dada por la integral m = ] ρ dV

5. aplicaciones matemáticas

   • se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.
     • Dada una función {\displaystyle f(x)}f(x) de una variable real {\displaystyle x}x y un intervalo {\displaystyle [a,b]}[a,b] de la recta real, la integral es igual al área de la región del plano {\displaystyle xy}xy limitada entre la gráfica de {\displaystyle f}f, el eje {\displaystyle x}x, y las líneas verticales {\displaystyle x=a}x=a y {\displaystyle x=b}x=b, donde son negativas las áreas por debajo del eje {\displaystyle x}x.
       • tiene muchas aplicaciones las cuales ayudan a muchas explicaciones de sucesos que pasan en la vida diaria por ejemplo:
         • areas entre curvas, volumenes, longitud de un arco, area de una superficie de revolucion, probabilidad

6. formatos

   • quí tenemos un breve panorama de las fórmulas de integración, es necesario tenerlas presentes para lograr una mayor fluidez al momento de integrar a funciones con una estructura más compleja
     • Si en dado caso la función es la identidad \displaystyle u(x)=x, entonces su derivada es la constante uno \displaystyle u^{'}(x)=1, y esto provoca que nuestra tabla de integrales se simplifique de la siguiente manera:
     • Debemos considerar en adelante a los siguientes puntos para comprender mejor a las fórmulas En las siguientes fórmulas consideraremos a las letras \displaystyle a, e, k y \displaystyle C como valores constantes. Además a \displaystyle u(x) como una función que depende de \displaystyle x, y, \displaystyle u^{'}(x) como su derivada con respecto de \displaystyle x. En adelante, escribiremos \displaystyle u y \displaystyle u^{'} para simplificar notación.

7. Usos en administración

   • muestran la evaluación tanto de productores como de consumidores para una empresa
     • por medio de este análisis se puede llegar a determinar el presupuesto de un artículo o bien, a través de su utilidad o valor
       • A los excedentes se les denomina como la suma de todas las diferencias entre el valor que cada persona asigna a un producto o bien y el valor del producto en el mercado.
         • CONSUMIDORES- PRODUCTOS
       • función de demanda de los consumidores a una función p = D(q ), que proporciona el precio por unidad que los consumidores están dispuestos a pagar por obtener la q-ésima unidad de un artículo. Esta función por lo general es una función decreciente de q.

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