Definición y propiedades de los espacios vectoriales

Definición y propiedades de los espacios vectoriales

1. Definicion

   • La definición formal seria que es una estructura Algebraica de un conjunto no vacío, a partir de una operación interna llamada suma y una operación externa llamada producto por un escalar, que se encuentra definida entre este conjunto y otro conjunto.

2. Combinaciones Lineales

   • Los elementos de los espacios vectoriales son vectores, y tambien hay la posibilidad de que un vector se pueda escribir como combinación lineal de otros vectores en un espacio vectorial dado.

3. Espacio Vectorial Trivial

   • Sea V = (0) el cual cumple todos los axiomas de un espacio vectorial, por consiguiente, V se define como un espacio vectorial, al que se llama espacio vectorial trivial.

4. Notacion

   • Dado un espacio vectorial , sobre un cuerpo K se distinguen: Los elementos de K como a, b, c se llaman escalares y los elementos de V se llaman vectores u, v, w

5. Conceptualizacion

   • Al estudiar los vectores, se identifican las diferentes operaciones, suma vectorial y multiplicacion por escalar y algunas propiedades que cumplen dichas operaciones comola clausurativa, conmutativa etc.

6. Axiomas

   • Cerradura bajo la suma. Ley asociativa dela suma de vectores. Vector 0 o identico aditivo inverso aditivo. Ley conmutativa de la suma de vectores. Cerradura bajo la multiplicacion por un escalar. Primera ley distributiva. Ley asociativa de la multiplicacion por escalares.

7. Dependencia Lineal

   • Dado un conjunto de vectores S = (v1, v2, v3,….vk) en un espacio vectorial V, se dice que S es linealmente depeniente, si la ecuacion: c1v1+c2v2+…..ckvk = 0 tiene solucion no trivial entonces: c1,c2,c3,….. ck no todos son cero (0).

8. Independencia Lineal

   • Dado un conjunto de vectores S = (v1, v2, v3, vk) es un espacio vectorial V, se dice que S es linealmente independiente, si la ecuacion: c1v1+c2v2+c2v3,….+ckvk = 0 si tiene solamente solucion trivial, por lo tanto: c1 = c2 = c3 = ck = 0

9. Escalares

   • La suma es una operación cerrada, asociatividad de la mano, conmutaicion de la suma, existencia del neutro aditivo, existencia del neutro aditivo, la multipliccion es una operación cerrada, asociatividad de la multiplicacion, conmutatividad del proceso, existencia del neutro, multiplicatico o identidad, multiplicativa, existencia del inverso multiplicativo, distributividad del producto respecto a la suma.

10. Polinomios

    • p(x) = a0 + a1 + a2 + a3 + ….anxn donde nEk para todo j=0,1,2,3,n. Los ak son los coeficientes del polinomio p(x). Si an=/0, se dice que p(x) es de grado n y se escribe grad(o(x))=n. En tal caso a an se le llama el coeficiente principal de p(x); en particular, si an=1, se dice que el polinomio es monico. Si en p(x) los coeficientes ak, k=1,…..n, son nulos, se dice que p(x) es un polinomio constante. El grado del polinomio constante. El grado del polinomio constante 0(x)=0 se considera indefinido. Al conjunto de todos los polinomios con coeficientes en k, se le denota por el simbolo k de x . A la literal x se le dice indeternimada o variable.