Lógica Matemática

Lógica Matemática

1. La lógica matemática, también llamada lógica simbólica, lógica teorética, lógica formal o logística, ​ es el estudio formal y simbólico de la lógica, y su aplicación a algunas áreas de la matemática y la ciencia

   • Lógica y conjunto
     • Proposiciones
       • Proposición
         • Una proposición es una unidad semántica que, o sólo es verdadera o sólo es falsa.
       • Valor de verdad
         • El valor de verdad de una proposición es la cualidad de veracidad que describe adecuadamente la proposición. Éste puede ser verdadero o falso
       • verdad deTabla
         • Una tabla de verdad es una representación de los posibles valores de verdad que podría tomar una proposición.
     • Operadores lógicos
       • Negación
         • Conjunción
           • Disyunción
             • Sean a y b proposiciones, la disyunción entre a y b, representada simbólicamente por a∨b, es una nueva proposición.
           • Sean a y b proposiciones, la conjunción entre a y b, representada simbólicamente por a∧b, es una nueva proposición
         • Sea a una proposición, la negación de a, representada simbólicamente por ¬a, es una nueva proposición
       • Condicional
         • Bicondicional
           • Sean a y b proposiciones, la bicondicional entre a y b, representada simbólicamente por a↔b, es una nueva proposición.
         • Sean a y b proposiciones, la condicional entre a y b, representada simbólicamente por a→b, es una nueva proposición.
     • Proposiciones simples y compuestas
       • Formas proposicionales
         • Se denominan formas proposicionales a las estructuras constituidas por variables proposicionales y los operadores lógicos que las relacionan.
           • Implicación lógica
             • Sean A y B dos formas proposicionales, se dice que A implica lógicamente a B, denotado por A⇒B, si y sólo si A→B es una tautología.
               • Equivalencia lógica
                 • Sean A y B dos formas proposicionales, se dice que A es equivalente lógicamente a B, denotado por A⇔B, si y sólo si A↔B es una tautología.
       • Proposiciones simples son aquellas que no poseen operador lógico alguno. Las proposiciones compuestas están formadas por otras proposiciones y operadores lógicos.
         • Tautología, Contradicción, Contingencia
           • Si se tienen solamente proposiciones verdaderas para todos los valores de verdad de las variables proposicionales, se dice que es una TAUTOLOGÍA. Si se tienen solamente proposiciones falsas para todos los valores de verdad de las variables proposicionales, se dice que es una CONTRADICCIÓN. Si se tienen algunas proposiciones verdaderas y otras falsas para los valores de verdad de las variables proposicionales, se dice que es una CONTINGENCIA.
     • Razonamientos
       • Son proposiciones compuestas que pueden ser representadas por la conjunción de proposiciones denominadas premisas o hipótesis, la condicional como operador lógico principal; y, una proposición final denominada conclusión.
       • Validez de un razonamiento
         • Un razonamiento es válido cuando la forma proposicional que representa su estructura lógica es una tautología. Si dicha forma proposicional es una contradicción o contingencia, entonces el razonamiento no es válido, en cuyo caso se denomina falacia.
     • Demostraciones directas
       • También denominadas “marcha adelante”. Si queremos demostrar que p→q, examinamos los elementos que aparecen en p; y, con la atención puesta en q, intentamos deducir q a partir de una secuencia de pasos lógicos que comience en p y termine en q.
         • Demostraciones por contraejemplo
           • El dar un ejemplo o mil, que ilustren una proposición, no demuestra que ésta sea verdadera. Sin embargo, sí podemos demostrar el hecho de que la proposición sea falsa
       • Demostraciones por contraposición
         • Este tipo de demostración es conocido como “supongamos que no”. Está basada en la equivalencia que vimos entre (p→q) y (¬q→¬p).
           • Demostraciones por reducción al absurdo
             • En este método se supone que la estructura del razonamiento p→q no es tautológica. Debido a que el operador principal de un razonamiento es la implicación, la estructura no es tautológica si existe al menos un caso 1→0, es decir, partimos de p y q e intentamos llegar a un disparate o contradicción.
   • Conjunto
     • Un conjunto es una colección, reunión o agrupación de objetos que poseen una característica o propiedad común bien definida.
     • Cardinalidad
       • Es la cantidad de elementos de un conjunto A. Se denota por el símbolo N(A)
     • Conjuntos relevantes
       • Sea A un conjunto, se pueden dar los siguientes casos: • A es VACÍO si no tiene elementos. • A es UNITARIO si tiene un único elemento.• A es FINITO si tiene una cantidad finita de elementos. • A es INFINITO si no tiene una cantidad finita de elementos. • A es REFERENCIAL o UNIVERSO cuando contiene todos los elementos que deseen considerarse en un problema, discurso o tema, sin pretender contener todo lo que no interesa al problema.

2. Predicados de una variable

   • Son expresiones en términos de una variable que al ser reemplazadas por los elementos de un conjunto referencial, se convierten en proposiciones.
     • Conjunto de verdad de un predicado
       • Es el conjunto formado por todos los elementos de Re para los cuales el predicado se convierte en una proposición verdadera.
   • Valor de verdad de proposiciones con cuantificadores
     • Una proposición que contiene un cuantificador universal es verdadera si y sólo si el conjunto de verdad del predicado es igual al conjunto referencial de la expresión abierta. ∀xp(x)⇔(Ap(x) = Re) Una proposición con un cuantificador existencial es verdadera si y sólo si el conjunto de verdad del predicado no es vacío. ∃xp(x)⇔¬(Ap(x) = ∅)

3. Par ordenado

   • Un par ordenado es un conjunto de dos elementos, a y b, que tiene un orden; al elemento a se lo denomina primera componente y al elemento b se lo denomina segunda componente. Se representa simbólicamente por: (a, b)
   • Producto cartesiano
     • Sean dos conjuntos A y B, no vacíos, denominaremos producto cartesiano entre A y B, al conjunto de todos los pares ordenados cuya primera componente pertenece al conjunto A, y la segunda al conjunto B. Simbólicamente, lo representaremos como: A x B.
     • Relación
       • Una relación establece la correspondencia entre los elementos de dos conjuntos no vacíos A y B. Usualmente, al conjunto A se lo denomina conjunto de partida, y al conjunto B, de llegada.
       • Dominio de una relación
         • Dada una relación R, construida a partir de los conjuntos A y B, los elementos del conjunto A que establecen correspondencia constituyen el dominio de la relación.
         • Rango de una relación
           • Dada una relación R, construida a partir de los conjuntos A y B, los elementos del conjunto B que se relacionan con elementos del dominio de R constituyen el rango de la relación