Números Complejos

Números Complejos

1. Sus Operaciones

   • Suma
     • (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
       • EJEMPLO: (2+7i) + (3–4i) = (2+3)+(7+(–4))i = 5+3i
   • Resta
     • (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i
       • EJEMPLO: (9+5i)–(4+7i) = (9–4)+(5–7)i = 5–2i
   • Multiplicación
     • (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
       • EJEMPLO: (3+2i)(5+6i) =15+18i+10i+12i²=15+28i–12 = 3+28i
   • División
   • Igualdad
     • a+bi=a'+b'i ⇔ a=a'  y  b=b'
       • Dado el número complejo z=a+bi se define:
         • • su opuesto como el número complejo −z=−a−bi su conjugado como el número complejo z ¯ =a−bi
   • Multiplicación de Números complejos Polares
     • rα.r’α’ = (rcosα + rsenαi).(r’cosα’+r’senα’i) = (rcosα.r’cosα’ - rsenα.r’senα’) + (rcosα.r’senα’ + rsenα.r’cosα’)i = rr’(cosα.cosα’-senα.senα’) + rr’.(cosα.senα’ + senα.cosα’)i = rr’ cos(α + α’) + rr’.sen (α + α’) = rr’α + α’
   • Potencias de Números Polares
   • Radicales

2. Aplicaciones en Ingeniería

   • Se usan en ingeniería electrónica para una descripción adecuada de las señales periódicas variables.
   • En ingeniería mecánica los números complejos se usan para representar la relación espacial de los esfuerzos en un sistema o internamente en un material y para poner en números el comportamiento de los fluidos
   • En la ingeniería los números complejos se utilizan para describir circuitos eléctricos y ondas electromagnéticas.

3. Representación de Números Complejos

   • Binómica
     • Z= a+bi
       • (2−5i)+(3+6i)
       • El número a es la parte real de z, y b es la parte imaginaria de z
   • Polar
     • z = r(cosθ + i senθ)
       • r=√(a)²+(b)²
     • Sean r y θ coordenadas polares del punto (x, y) que corresponde a un número complejo no nulo z = x+iy Como x=rcosθ e y = rsen θ, θ tiene infinitos valores, no se admiten r negativos
   • Exponencial
     • z = reiθ
       • La ecuación eiθ = cos θ + i sen θ que define el simbolo eiθ, o exp (iθ), para todo valor real de θ, se conoce como fórmula de Euler
         • z = reiθ”[1].
   • Representación Gráfica en diagrama de Argand
     • puede representar usando coordenadas (x, y). Cuando este punto se toma para representar el número complejo (x+iy)

4. Las potencias de i

5. Historia de los Números Complejos

   • En 1545, Jerome Cardan publica ”Ars Magna” dónde describe un método para resolver ecuaciones algebraicas de grado tres y cuatro
     • A principios de 1620, Albert Girard sugiere que las ecuaciones de grado n tienen n raíces. Esta premonición del teorema fundamental del álgebra estaba en este caso planteada de forma vaga y sin rigor
       • René Descartes que bautizó con el nombre de imaginarios a los nuevos números, apuntó también que toda ecuación debía tener tantas raíces como indica su grado, aunque números no reales podían ser alguna de ellas
         • Los números complejos fueron ampliamente utilizados en el siglo XVIII. Leibniz y Johan Bernoulli usaron números imaginarios en la resolución de integrales.
           • Leonhard Euler descubrió su identidad eπi = −1
             • Euler fué el primero en usar la notación i = √−1
               • La representación geométrica de los complejos como puntos del plano tiene sus primeras citas en los trabajos de 1797 del noruego Caspar Wessel y en 1806 en los del suizo Jean-Robert Argand
                 • Ya comenzada la segunda mitad del siglo XIX, las dudas y misterios sobre los números complejos ya han desaparecido

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