Límites matemáticos

Límites matemáticos

1. Definición

   • Un límite es una magnitud a la que se acercan progresivamente los términos de una secuencia infinita de magnitudes.
     • Un límite matemático, por lo tanto, expresa la tendencia de una función o de una sucesión mientras sus parámetros se aproximan a un cierto valor.

2. Propiedades

   • ~Unicidad del límite: cuando el límite existe, el límite es único.
     • ~Propiedad de la suma: el límite de la suma es la suma de los límites.
       • ~Propiedad de la resta: el límite de la resta es la resta de los límites.
         • ~Propiedad del producto: el límite del producto es el producto de los límites.
           • ~Propiedad de la función constante: el límite de una función constante es esta misma constante
             • ~Propiedad de la función exponencial: el límite de una función exponencial es la potencia de la base elevada al límite de la función exponente
               • ~Propiedad de la raíz: el límite de una raíz, es la raíz del límite
   • ~Propiedad del factor constante: en un límite de una constante multiplicada por una función se puede sacar la constante del límite sin que se afecte el resultado.
     • ~Propiedad del cociente: el límite de un cociente de dos funciones es el cociente de los límites de las mismas.
       • ~Propiedad de la función potencial: el límite de una función potencial es la potencia del límite de la base elevado al exponente:
         • ~Propiedad de la función potencial exponencial: el límite de una función potencial exponencial, es la potencia de los límites de las dos funciones
           • ~Propiedad de la función logarítmica: El límite del logaritmo es el logaritmo del límite.

3. Límites indeterminados infinito partido por infinito

   • ~Que el mayor grado en el numerador sea mayor que el mayor grado del denominador. En este caso, el límite es o +∞ o -∞.
     • como se ve en la imagen:

4. Casos de indeterminación

   • Límites indeterminados cero partido por cero
     • El límite de una fracción de funciones racionales que dé una indeterminación del tipo 0/0 se resolverá descomponiendo en factores el numerador y el denominador. Después, simplificar y resolver:
       • Como se ve en la figura
   • Límites indeterminados uno elevado a infinito
     • Se refieren a casos de función potencial exponencial, donde tanto la base como el exponente son funciones. En general, los límites exponenciales indeterminados de los tres tipos, 1∞, ∞0 y 00, que se resuelven aplicando en primer lugar esta transformación:
       • Se verifica, puesto que la potencia y el logaritmo de la misma base que la potencia se anulan entre sí por ser funciones inversas.
         • En cualquier límite exponencial indeterminado, por tanto, podemos hacer:
         • Por una de las propiedades de los límites, el límite de un logaritmo es el logaritmo del límite:
   • Límites indeterminados infinito partido por infinito

5. Continuidad de funciones

   • Una función es continua si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo. Diríamos que es continua si puede dibujarse sin separar el lápiz de la hoja de papel.
     • La continuidad de una función se estudia en diferentes sectores de la función: ~Continuidad en un punto ~Continuidad lateral ~Continuidad en un intervalo

6. Discontinuidad de funciones

   • Una función f es discontinua en a (o tiene una discontinuidad en a) si se cumplen al menos una de estas tres condiciones: No existe la función en a, es decir, no existe la imagen de a: Condición de inexistencia de imagen en un punto de una función discontinua. No existe el límite de f en el punto x = a: Condición de inexistencia del límite en la discontinuidad en un punto. La imagen de a y el límite de la función en a son diferentes. Condición de desigualdad de la imagen y del límite en la discontinuidad en un punto.
     • Cuando una función es discontinua en un punto, se pueden producir tres tipos de discontinuidades: Discontinuidad evitable Discontinuidad inevitable Discontinuidad esencial
       • Una función f tiene una discontinuidad evitable en a si se cumplen las dos condiciones siguientes: Dibujo de una función con una discontinuidad evitable. Existe el límite en a y éste es finito. Condición de existencia de límite finito para la discontinuidad evitable. La imagen de a no existe o si existe no coincide con su límite
       • Se dice que la discontinuidad es inevitable porque no existe ninguna forma de juntar los dos laterales en a al ser distintos.
         • Una función f tiene una discontinuidad esencial en a si no existe un límite lateral o no existen ambos.

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