ESPACIO VECTORIAL

ESPACIO VECTORIAL

1. Un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna y una operación externa, con 8 propiedades fundamentales.

2. A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.

3. Un espacio vectorial sobre un cuerpo K es un conjunto V no vacio, dotado de dos operaciones para las cuales será cerrado:

   • suma +: V * V → V (u,v) → w= u + v
     • 1) La propiedad conmutativa, es decir: u + v = v + u, ∀u, v ∈ V
     • 2) La propiedad asociativa, es decir: u + (v + w) = (u + v) + w, ∀u, v, w ∈ V
     • 3) elemento neutro e, es decir: ∃e ∈ V : u + e = u, ∀u ∈ V
     • 4) elemento opuesto, es decir: ∀u ∈ V, ∃-u ∈ V : u + (-u)= e
   • Producto .: K * V → V (a,u) → v = a* u
     • 5) La propiedad asociativa: a * (b * u) = (a * b) * u, ∀a, b ∈ K, ∀u ∈ V
     • 6) Existencia del elemento neutro multiplicativo e del cuerpo K, es si mismo: ∃e ∈ K : e * u = u, ∀u ∈ V
     • 7) La propiedad distributiva del producto respecto la suma de vectores: a * (u + v) = a * u + a * v, ∀a ∈ K, ∀u, v ∈ V
     • 8) La propiedad distributiva del producto respecto la suma de escalares: a * (u + v) = a * u + a * v, ∀a ∈ K, ∀u, v ∈ V

4. Históricamente, las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se remontan al siglo XVII: geometría analítica, matrices y sistemas de ecuaciones lineales.Los espacios vectoriales se derivan de la geometría afín, a través de la introducción de coordenadas en el plano o el espacio tridimensional.

5. Definición y Ejemplos de espacios vectoriales

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