Vetor Gradiente

Vetor Gradiente

1. Definição

   • O vetor gradiente armazena todas as informações da derivada parcial de uma função multivariável. Porém, ele é mais do que um simples dispositivo de armazenamento: ele tem diversas interpretações maravilhosas e muitos usos.
     • O gradiente de uma função f, denotado por f∇, é a coleção de todas as suas derivadas parciais em um vetor.
       • Exercicio de duas dimensões f(x;y)=x 2 −xy
         • Exercicio Considere a função f(x, y) = -x^4 + 4(x^2 - y^2)-3. Qual é o gradiente dessa função?

2. vetor gradiente em curvas de nível

   • Em R2, o vetor gradiente ∇f(x0, y0), além de fornecer a direção e sentido de maior crescimento, é perpendicular à reta tangente à curva de nível de f(x, y) = k que passa por P = (x0, y0)
     • Em R3, o vetor gradiente ∇F(x0, y0, z0), além de fornecer a direção e sentido de maior crescimento, é perpendicular ao plano tangente à superfície de nível de F(x, y, z) = k que passa por P = (x0, y0, z0).
       • Exercicio considerando as curvas de nível f(x,y)=xy

3. Derivada Direcional

   • Definição
     • A derivada direcional de f em P0(x0, y0) na direção do vetor u = u1i + u1j é o número
       • Derivada Direcional no Plano
         • Exemplos 1 e 2 de graficos
           • Exercício considere as retas

4. Gradiente Diferencial

   • O uso da diferencial permite resolver problemas envolvendo mudança de variáveis (como regra de cadeia e integração)
     • Exercicio

5. Plano tangente a uma superficie

   • O plano tangente o é o plano que contem todas as retas tangentes ao gráfico de f que passam pelo ponto
     • Exercico

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