zeros de Funções

zeros de Funções

1. Isolamento de Raízes

   • Um zero ou raíz de uma equação f(x) é um n° real ε tal que f( ξ) = 0
   • Motivação
     • (a) Polinômio de grau elevado
     • (b) Funções Complexas
       • Métodos Numéricos
         • Refinamento
           • Método Iterativo
             • Uma sequência de instruções que são executadas passo a passo, algumas das quais são repetidas em ciclos.
         • Isolamento
           • Análise
             • Raíz no intervalo
               • Raíz única
             • Ferramentas
               • 1. Teorema de Bolzano
                 • Se uma função contínua f (x) em um intervalo [a, b], isto é f (a) · f (b) < 0, então o intervalo conterá, no mínimo, uma raiz da equação f (x) = 0, em outras palavras haverá, no mínimo, um número ξ ∈ (a, b) tal que f (ξ) = 0.
                   • [sinais opostos] f (a) · f (b) < 0
               • 4. Gráfico
               • 2. Colorário do teorema
                 • Se f' preservar o sinal em [a,b], então existe uma único ξ ∈ (a, b), tal que f (ξ) = 0.
               • 3. Tabelamento
                 • Se f(a) e f(b) tiverem sinais opostos existe pelo menos uma raíz no intervalo

2. Método da Bissecção

   • INICÍO
     • APROXIMAÇÃO PARCIAL
       • ̅x_0
       • Critério de parada
         • Exibe Resultado
           • Fim
         • Atualiza aproximação
           • APROXIMAÇÃO PARCIAL
           • ̅x_1; ̅x_2
         • Bissecção, Falsa posição, Ponto fixo, Newton, Secante
   • Critérios de parada
     • f(X_k) < ξ
     • |X_k - X_k1| < ξ
     • N° Limite de interações
   • ̅x_k = a+b/2
     • f( ̅x_k) ≈ 0 < ξ
     • Quando ̅x resulta em f( ̅x) negativo, assume-se o valor de "a" no cálculo seguinte.
     • Quando f( ̅x) assume valor negativo, o valor de "a" mantém e ̅x assume valor de "b"

3. Método da Falsa posição

   • ( ̅x_k ) =(a*f(b)-b*f(a))/(f(b)-f(a) )
   • Critérios de parada
     • >>>>>>
     • Verificar se a raíz está suficientemenete próximo de zero.
       • Sim?
         • Atualiza a Raíz
       • Não?
         • Ok, fim.

4. Método do ponto fixo

   • Um ponto ξ ∈ R é chamado ponto fixo da fução ϕ se: ϕ(ξ) = ξ
     • Teorema de convergência
       • 1. ϕ e a sua derivada ϕ 0 são funções continuas em I
       • 2. ∃M > 0 tal que |ϕ 0 (x)| ≤ M < 1 ∀x ∈ I
       • 3. x_0 ∈ I
   • Não utiliza de método numérico para determinaar as raízes
   • Critério de parada
     • Exatos
       • |x_k – x_k-1| = 0
       • f(x_k) = 0
     • Não exato
       • |f(xk)| ≤ tolerância
       • |xk – xk-1| ≤ tolerância

5. Método de Newton-Rhapson

   • MELHORIA DO PONTO FIXO
     • Função de interação pre determianada
       • g(x), tal que g’(ξ) = 0
       • g(x)=x-f(x)/(f' (x) )
   • Equação da reta tangente
     • Convergência
       • x_(k+⊥)=x_k-f(x_k )/(f^1 (x_k ) )
       • Sendo f(x), f’(x) e f”(x) contínuas em um intervalo I que contém uma raiz x = ξ de f(x) = 0 e supondo f’(ξ) ≠ 0, existirá um intervalo Ī ⊆ I contendo a raiz ξ, tal que se x_0 ∈ Ī, a seqüência {xk} gerada pela fórmula recursiva

6. Método da Secante

   • Modificação do método de Newton
     • f’(xk) ≈ [f(xk) - f(xk-1)]/(xk - xk-1)
     • Equação método da secante
       • g(x) = [x_k-1 .f(x_k) – x_k . f(x_k-1)]/ [f(x_k) – f(x_k-1)]

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