Progressão Aritmética

Progressão Aritmética

1. é uma sequência de números onde a diferença entre dois termos consecutivos é sempre a mesma. Essa diferença constante é chamada de razão da P.A..

2. As progressões aritméticas podem apresentar um número determinado de termos (P.A. finita) ou um número infinito de termos (P.A. infinita).

   • Para indicar que uma sequência continua indefinidamente utilizamos reticências, por exemplo:
     • a sequência (4, 7, 10, 13, 16, ...) é uma P.A. infinita.
     • a sequência (70, 60, 50, 40, 30, 20, 10) é uma P.A. finita.

3. Cada termo de uma P.A. é identificado pela posição que ocupa na sequência e para representar cada termo utilizamos uma letra (normalmente a letra a) seguida de um número que indica sua posição na sequência.

   • Por exemplo, o termo a4 na P.A (2, 4, 6, 8, 10) é o número 8, pois é o número que ocupa a 4ª posição na sequência.

4. Classificação de uma P.A.

   • De acordo com o valor da razão, as progressões aritméticas são classificadas em:
     • Constante: quando a razão for igual a zero. Por exemplo: (4, 4, 4, 4, 4...), sendo r = 0.
     • Crescente: quando a razão for maior que zero. Por exemplo: (2, 4, 6, 8,10...), sendo r = 2.
     • Decrescente: quando a razão for menor que zero (15, 10, 5, 0, - 5,...), sendo r = - 5

5. Propriedades da P.A.

   • 1ª propriedade:
     • Em uma P.A. finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.
   • 2ª propriedade:
     • Considerando três termos consecutivos de uma P.A., o termo do meio será igual a média aritmética dos outros dois termos.
   • 3ª propriedade:
     • Em uma P.A. finita com número de termos ímpar, o termo central será igual a média aritmética entre termos equidistantes deste. Esta propriedade deriva da primeira.

6. Fórmula do Termo Geral

   • an: termo que queremos calcular
     • a1: primeiro termo da P.A.
       • n: posição do termo que queremos descobrir
         • r: razão

7. Exemplo

   • Calcule o 10° termo da P.A.: (26, 31, 36, 41, ...)
     • Primeiro, devemos identificar que:
       • a1 = 26
         • r = 31 - 26 = 5
           • n = 10 (10º termo).
             • Substituindo esses valores na fórmula do termo geral, temos:
               • an = a1 + (n - 1) . r
                 • a10 = 26 + (10-1) . 5
                   • a10 = 26 + 9 .5
                     • a10 = 71
                       • Portanto, o décimo termo da progressão aritmética indicada é igual a 71.

8. Fórmula do termo geral a partir de um termo k qualquer

   • an: o n-ésimo termo da P.A. (um termo numa posição n qualquer)
     • ak: o k-ésimo termo de uma P.A. (um termo numa posição k qualquer)
       • r: a razão

9. Soma dos Termos de uma P.A.

   • Sn: soma dos n primeiros termos da P.A.
     • a1: primeiro termo da P.A.
       • an: ocupa a enésima posição na sequência (uma termo na posição n)
         • n: posição do termo

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