FUNCIONES EN VARIABLE COMPLEJA

FUNCIONES EN VARIABLE COMPLEJA

1. FUNCION EXPONENCIAL

   • TENIENDO UN NUMERO COMPLEJO Z= X+ i Y , definimos la función exponencial como : 𝑒^𝑍=𝑒^𝑋.(cos⁡〖𝑦+𝑖.𝑠𝑒𝑛 𝑦〗 )
     • OBSEVACIONES:
       • Según el valor del factor imaginario “y” , la función 𝑒^𝑍 se puede reducir a 𝑒^𝑥, solo si y=0 .
       • 𝑒^𝑍 , es una función entera y analítica en todo punto, es decir, la derivada de esta debe existir en todos los valores de 𝑒^𝑍.
       • Usando derivadas parciales , podemos concluir que su derivada coincide con la función misma .
     • PROPIEDADES
       • 𝑒^(𝑧_1+𝑧_2 )=𝑒^(𝑧_1 ).𝑒^(𝑧_2 )
       • 𝑒^𝑧=1;solo en el caso particular〖 𝑒〗^0=1, es decir z =0.
       • 〖〖(𝑒〗^𝑧)〗^(−1)=𝑒^(−𝑧)
       • 〖〖(𝑒〗^𝑧)〗^𝑛=𝑒^(𝑛.𝑧);𝑐𝑜𝑛 𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜

2. FORMULA DE EULER

   • ESTA NOS DICE QUE UNA POTENCIA DE BASE NEPERIANA ELEVADA A UN NUMERO COMPLEJO ES IGUAL A:
     • 𝑒^𝑧=𝑒^(𝑥+𝑖𝑦)=𝑒^𝑥 (𝑐𝑜𝑠𝑦+𝑖.𝑠𝑒𝑛𝑦)
       • Sin embargo, notamos que si z es imaginario puro, es decir, x=0, entonces: 𝑒^𝑧=𝑒^𝑖𝑦=𝑐𝑜𝑠𝑦+𝑖 𝑠𝑒𝑛𝑦 Entonces: 𝑒^(𝑖∝)=𝑐𝑜𝑠∝+𝑖 𝑠𝑒𝑛∝

3. FUNCION LOGARITMICA

   • Definimos el logaritmo de un complejo z como : ln⁡𝑧=ln⁡|𝑧|+𝑖.𝑎𝑟𝑔𝑧=ln⁡𝑟+𝑖𝜃
     • Para todo |𝑧|>0, no continua en z=0. Dicho esto, podemos observar que si : 𝑒^ln⁡𝑧 =𝑒^ln⁡〖|𝑧|+𝑖 𝑎𝑟𝑔𝑧〗 =𝑒^ln⁡|𝑧| .𝑒^(𝑖 arg⁡𝑧 )=|𝑧| 𝑒^(𝑖 arg⁡𝑧 )=𝑧 Ahora dicho esto observamos que debido a la multivaluación de la función arg z, a cada z corresponden un número infinito de valores.

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