Espacio Vectorial

El conjunto de todas las matrices de un mismo orden dotado de las operaciones suma y producto por un escalar
1. Definición
  1. Sea V un conjunto no vacıo. Supongamos que en V hay definida una operacion suma, que denotaremos por +, y una operacion producto por un escalar, que denotaremos por ·. Diremos que (V, +, ·) es un espacio vectorial real (o simplemente un espacio vectorial)
    1. Propiedades
      1. . Propiedad asociativa (+): (u + v) + w = u + (v + w), ∀ u, v, w ∈ V .
      2. Propiedad conmutativa: u + v = v + u, ∀ u, v, ∈ V .
      3. Existencia de elemento neutro: ∃ 0 ∈ V | 0 + v = v, ∀ v ∈ V .
      4. Existencia de elemento opuesto: ∀ v ∈ V ∃ -v ∈ V | v + (-v) = 0.
      5. Propiedad distributiva II: (a + b) · v = a · v + b · v, ∀ a, b ∈ R, ∀ v ∈ V
      6. Elemento unidad: 1 · v = v, ∀ v ∈ V
      7. Propiedad distributiva I: a · (u + v) = a · u + a · v, ∀ a ∈ R, ∀ u, v ∈ V .
1. Propiedad asociativa (·): a · (b · v) = (ab) · v, ∀ a, b ∈ R, ∀ v ∈ V .
EJEMPLOS
1. Vectores de R^2
  1. 2
2. Matrices M3X3
  1. 9
3. Vectores de R^3
  1. 3
4. Matrices M2X2
  1. 4
5. Polinomio 1 Grado
  1. p_1= x+3
6. Polinomio 2 Grado
  1. p_2= 2x^3+3x-4
7. Polinomio 3 Grado
  1. p_2
8. El espacio R^n , formado por los vectores de n componentes (x_1, . . ., x_n) es un espacio vectorial real, en el que se pueden sumar vectores y multiplicar por un escalar (real) de la forma habitual. Se puede comprobar que se cumplen las propiedades requeridas para ambas operaciones. El vector cero es (0,. . .,0). No es un espacio vectorial complejo, pues no podemos multiplicar por escalares complejos (si lo hacemos, el resultado no se mantendrá dentro de R^n ).

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	Created by Javier Leandro Naranjo Quintero almost 10 years ago