ALGEBRA LINEAL

ALGEBRA LINEAL

1. ESPACIO VECTORIAL

   • DEFINICION
     • Es un conjunto de objetos denominados vectores junto con dos operaciones binarias llamadas suma y multiplicacion por un escalar definida entre dicco conjunto y otro conjunto con estructura de cuerpo
     • PROPIEDADES
       • Undiad dfe vector neutro de la propoiedad 3
       • Unidad de vector opuesto de la propiedad 4
       • Unicidad en el elemento 1 del cuerpo K
       • Unicidad del elmento inverso del cuerpo K
       • Producto de un escalar por el vector neutro
       • Producto de un escalar 0 por un vector
       • Axionas de un espacio vectorial
         • Si X pertenece a V y Y pertene a V entonces X+Y pertenece a V
         • Para todo X, Y y Z en V ( (x+y)+z = x(y+z).
         • Existe un vector |0 pertenece V tal que para todo X pertenece a V, X+0=0+X=X
         • Si x pertenece a V, existe un vector –x en V tal que x+(-x)=0.
         • Si X y Y están en V, entonces x+y=y+x.
         • Si x pertenece a V y a es un escalar, entonces ax pertenece a V.
         • Si X y Y están en V y a es un ecalar, entonces a(x+y)= ax + ay
         • Si X pertenece a V y a y b son escalares, entonces (a+b) x = ax+ by.
         • Si X pertenece a V y a y b son escalares, entonces a(bx) = (ab)x.
         • Para cada vector X pertenece a V, 1x = x.
       • Combinacion Lineal
         • Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por escalares.
         • Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros que tengan distinta dirección.
         • Esta combinación lineal es única. Sean v1,v2,…,vn vectores en un espacio vectorial V. Entonces cualquier vector de la forma:
       • Dependencia e independencia lineal
         • Los vectores son linealmente independientes si tienen distinta dirección y sus componentes no son proporcionales.
         • Si los vectores no son linealmente dependientes, se dice que son linealmente independientes.
       • Teoremas
         • Cualquier conjunto que contenga al vector 0 es linealmente dependiente.
         • Cualquier conjunto que contenga un único vector diferente de cero, v ≠0, es linealmente independiente.
         • Cualquier conjunto formado por dos vectores diferentes de cero, S = {v1, v2}, donde v1 ≠ 0, v2 ≠ 0, es linealmente dependiente si, y sólo si, uno de los vectores es múltiplo escalar del otro.
         • Cualquier conjunto que contenga un subconjunto linealmente dependiente es linealmente dependiente.
         • Cualquier subconjunto de un conjunto linealmente independiente es linealmente independiente.

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