Probabilidades y Loterías I

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Preliminares

Considere un individuo que debe de elegir entre varias opciones con característica de incertidumbre, las que se llamarán loterías

Las loterías son para estos casos, el equivalente a las canastas de consumo vista en anterioridad.

Cada lotería puede tener un infinito numero de resultados y cada uno de estos resultados puede ser una canasta de consumo o un valor monetario (pagos,etc).

Sea X el conjunto de todos los posibles resultados o consecuencias. Donde X es acotado (numero determinado de resultados) y exógeno (depende de un valor externo).

En resumen, una lotería puede dar un resultado (ej. ganar o perder dinero), entonces X sería el conjunto de todos los resultados posibles que la lotería pueda brindar (siempre dependiendo de las probabilidades de obtener cada uno de estos).

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Loteria Simple

Una lotería simple es una alternativa con incertidumbre que contiene unos posibles resultados, todos estos agrupados en X.

Se representa por función de probabilidad como P: X---> [0,1]

Donde cada resultado posee una probabilidad entre 0 y 1.

De tal manera que nuestra medida de probabilidad debe cumplir que : 1. Todas las probabilidades asignadas son mayores a 0. 2. La suma de todas las probabilidades es igual a 1

Se asume que las probabilidades están disponibles para todos los individuos, lotería objetiva.

La lotería simple puede ser discreta, con resultado discreto (representada como L ={conjunto de resultados; vector de probabilidad}) o continua, de resultado continuo (representada con función de densidad f(x) y distribución acumulativa F: X-->[0,1] )

La lotería simple es segura cuando uno de sus resultados tiene probabilidad 1

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Lotería Compuesta

En una lotería simple cada uno de los posibles resultados es cierto y final, pero es posible tener loterías en las cuales los resultados impliquen jugar Loterías

Entonces sea Lk (donde k = 1,2,...,K) un conjunto de loterías simples. De tal manera que nuestra lotería compuesta (Q) es el conjunto de resultados donde cada uno de estos es una lotería simple, obtenida con su respectiva probabilidad asignada. de tal manera que cada probabilidad debe ser mayor a 0 y las sumas de las probabilidades deben ser igual a 1.

ESQUEMA SIMPLE:

Q1 --------> (L1, L2 ; a1,a2) , donde L1 ------> (r1,r2; p1,p2) y L2 ------> (r3,r4; p3,p4)

Text: Jugamos la lotería compuesta Q1, donde hay posibilidad de jugar L1 o L2, cada una de estas loterías simples con sus respectivos resultados y probabilidades.

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Lotería Simple Reducida

Toda Lotería compuesta la podemos reducir a una Lotería simple

Sea Q1 nuestra lotería compuesta con loterías simples (L1 y L2) cada una con probabilidades de valor real.

Entonces L0 es la lotería simple reducida de medida de probabilidad: P0: X ----> [0,1].

Donde cada P0 asignado a cada resultado de cada lotería simple es: P0(xn) = ak . Pk(xn)

Siguiendo el Esquema anterior:

La probabilidad de obtener el resultado r1 en la lotería compuesta Q1 proviene de la multiplicación entre la probabilidad de jugar la lotería simple L1 y la probabilidad de obtener r1 en la lotería simple: a1 multiplicado por p1

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Ejemplos

LOTERÍA SIMPLE

Una apuesta donde al lanzar la moneda si le sale cara ganará 100 monedas pero si le sale sello deberá pagar 200 monedas (+100, -200; 0.5,0.5)

LOTERÍA COMPUESTA

Giran una ruleta de dos opciones (M y C) donde si le sale M, podrá jugar el juego de la moneda, pero si le sale C, deberá jugar el juego de las cartas (M, C; 0.5,0.5)

LOTERÍA SIMPLE REDUCIDA

Uniendo la ruleta con el juego de la moneda. La probabilidad de ganar 100 monedas en la ruleta puede verse al multiplicar la probabilidad de jugar M en la ruleta con la probabilidad de ganar 100 monedas en el juego de la moneda (0.25)