Espacio Vectorial - created from Mind Map

Page 1

Estudiar muchos conjuntos.

Se dice que S es un subespacio de un espacio vectorial E si S es un subconjunto no vacío de E y, con las mismas operaciones de suma y multiplicación por escalar de E, es en sí mismo un espacio vectorial

Sea E un espacio vectorial y {v1, v2, . . . , vp}, un conjunto de vectores de E. Se llama combinación lineal de los vectores v1, v2, . . . , vp al vector: v = a1v1 + a2v2 + · · · + apvp cualquiera sea la elección de los escalares a1, a2, . . . , ap. Y al conjunto CL {v1, . . . , vp} = {a1v1 + a2v2 + · · · + apvp|a1, a2, . . . , ap ∈ IR} se le denomina conjunto de combinaciones lineales de v1, v2, . . . , vp.

Un conjunto de vectores {v1, v2, . . . , vk} de un espacio vectorial E, es una base de este espacio si y solo si todo vector v ∈ E se puede expresar como combinaci´on lineal ´unica de los vectores v1, v2, . . . , vk.

Se llama espacio vectorial real y sus elementos se llaman vectores.

a) Una suma de vectores (denominada por +)

b) Un producto de un número real por un vector.

Si u € E, v € E entonces u + v € E

u + v = v + u

(u + v) + w = u + (v + w)

Existe 0e € E tal que: u + 0e = u

⩝u € E, existe -u € tal que: u + -u = 0e

(a + b)u = au + bu

Si u € E, c € nR entonces cu € E

a(u + v) = au + av

(ab)u = a(bu)

1u = u

Sea E un espacio vectorial, y S ⊂ subconjunto no vacío

Si x € S y y € S entonces x + y € S

Si x € S y ⧜ € ℝ entonces ax € S

Un conjunto de vectores {v1, v2, . . . , vk}, de un espacio vectorial E, se llama un conjunto generador de E si todo v ∈ E se puede expresar como combinaci´on lineal de los vectores v1, v2, . . . , vk.

Un conjunto {u1, u2, . . . , up} de vectores de un espacio vecto�rial E se llama linealmente dependiente, l.d., si existen escalares a1, a2, . . . , ap no todos nulos tales que a1u1 + a2u2 + · · · + apup = 0e Es decir, si uno de ellos es combinaci´on lineal de los restantes. Y se llaman linealmente independientes, l.i., si a1u1 + a2u2 + · · · + apup = 0e =⇒ a1 = a2 = · · · = ap = 0.

Observe que si un conjunto de vectores contiene a 0e entonces es l.d. y si est´a compuesto por un ´unico vector no nulo entonces es l.i.

Sea V = C`{v1, v2, . . . , vp}, donde cada vi pertenece a un espacio vectorial E, entonces cualquier conjunto de p + 1 vectores en V es l.d.