Matrices - created from Mind Map

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Tabla numérica rectangular de m filas y n columnas

Tipos de matrices

Operaciones con matrices

Rango de una matriz

A las matrices se les nombran con letras mayúsculas: A, B, C, M, N, etc.

Dónde aij es el elemento de la i-ésima fila y j-ésima columna

Según su forma

Según sus elementos

Una matriz fila está constituida por una sola fila.

Matriz columna: su orden es m × 1.

La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.

La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.

Matriz traspuesta: Dada una matriz A se llama matriz traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por columna

Matriz simétrica es aquella que cumple que es igual a su traspuesta. Es decir, A es simétrica si, y sólo si A = At .

Matriz antisimétrica. Una matriz A es antisimétrica si At = −A.

Matriz nula: Todos sus elementos son 0.

Matriz diagonal: es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos salvo la diagonal principal

Matriz escalar: es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal iguales.

Matriz identidad Id. es una matriz escalar con los elementos de la diagonal igual a 1.

Matriz triangular superior (inferior): es una matriz cuadrada en la que todos los elementos por encima (por debajo) de la diagonal principal son nulos

Suma y diferencia de matrices

Producto de matrices por un número

Producto de dos matrices

Matriz inversa

1. Las matrices compartan la misma dimensión.

2. Sumar o restar los elementos con la misma posición en matrices distintas.

La suma de matrices posee las siguientes propiedades: P1. Propiedad asociativa: (A + B) + C = A + (B + C). P2. Propiedad conmutativa: A + B = B + A. P3. Existencia de elemento neutro: La matriz nula, A + 0 = A. P4. existencia de opuesto: La matriz −A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe el nombre de matriz opuesta, ya que A + (−A) = 0.

La diferencia de las matrices A y B se representa por A − B , y se define del siguiente modo:

El producto de una matriz A = (aij ) por un número real α es otra matriz B = (bij ) de la misma dimensión que A tal que cada elemento bij de B se obtiene multiplicando aij por α.

P1. Primera propiedad distributiva: α (A + B) = α A + α B. P2. Segunda propiedad distributiva: (α + β) A = α A + β A. P3. Propiedad asociativa mixta: α (β A) = (α β) A. P4. Existencia de elemento neutro: 1 · A = A.

Propiedades simplificativas: P1. A + C = B + C es equivalente a A = B; P2. α A = α B es equivalente a A = B si α 6= 0; P3. α A = β A es equivalente a α = β si A 6= 0.

El producto de la matriz Am×n = (aij ) por la matriz Bn×q = (bjk) es otra matriz Cm×p = (cik) tal que cada elemento cik se obtiene multiplicando escalarmente la fila i de la primera matriz por la columna k de la segunda matriz. Matemáticamente,

P1. Propiedad asociativa: Am×n (Bn×p Cp×q) = (Am×n Bn×p) Cp×q. P2. El producto de matrices en general no es conmutativo, es decir A B 6= B A. P3. Existencia de elemento neutro: La matriz identidad Id. Para cualquier matriz cuadrada P4. A de orden n,se tiene que A · Idn = Idn · A=A. P4. Dada una matriz A de orden n, no siempre existe otra matriz B tal que A B = B A = Idn. P5. El producto de matrices es distributivo con respecto de la suma de matrices, es decir, A (B + C) = A B + A C.

Dada una matriz A de orden n, si existe otra matriz cuadrada B del mismo orden n tal que

Dada una matriz A ∈ Mn×m, se define el rango de A como el número de filas (o de columnas) linealmente independientes. El rango de A se denotará por rg(A).

Cálculo del rango por Gauss

a)Se pueden suprimir sin que varíe el rango: • las filas (o columnas) nulas. • las filas (o columnas) proporcionales a otras. • Las filas (o columnas) dependientes de otras.

b) Se pueden realizar las siguientes operaciones sin que varíe el rango: Regla 1. Multiplicar una fila (o columna) por un número distinto de cero . Regla 2. Sumar o restar una fila (o columna) a otra