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LIMITES
Punto o línea que señala el fin o término de
una cosa no material; suele indicar un punto que no debe o no puede
sobrepasarse.
Línea real o imaginaria que marca el fin de una
superficie o cuerpo o la separación entre dos entidades.
LIMITES DE UNA FUNCION
En matemática, el límite es un concepto que
describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los
parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor.
De modo informal diremos que se habla de límite cuando se quiere describir
procesos de comportamiento tendencial entre magnitudes variables.
Como introducción al estudio de este concepto,
haremos un planteamiento informal de la idea de límite. Primero observemos la secuencia de números cuyos valores denotamos
con la variable “x” y que están dados en las siguientes tablas:
X
f(x)
1,9
3,61
1,99
3,9601
1,999
3,996001
...
...
↓
↓
2
4
x
f(x)
2,1
4.41
2,01
4,0401
2,001
4,004001
...
...
↓
↓
2
4
x
f(x)
0.9
3,61
0.99
3,9601
0.999
3,996001
0.9999
3.996089
↓
↓
1
4
x
f(x)
1.01
4.41
1.001
4,0401
1.0001
4,004001
1.00001
4.004011
↓
↓
1
4
Es evidente que a medida
que estos valores se recorren hacia la derecha van aproximándose al número 2 y al
número 1 respectivamente, por la izquierda, o, como diremos, “x tiende a 2” y
“x tiende a 1”, que se representa
, respectivamente. De forma análoga, las
secuencias de las tablas anteriores, indican que “x tiende a 2” y “x tiende a
1” respectivamente, pero ahora por la derecha, o bien
.
Para decir que la variable tiende a 2 ó a 1 tanto por la izquierda como
la derecha escribimos simplemente
respectivamente.
Gráficamente podemos
ver:
Cuando los valores de
“x “se acercan a “c” por cualquier lado, los valores de f(x) se acercan a un
valor “L” el cual corresponde al límite de la función. Ahora podemos definir qué:
El límite de una Función f(x) es L cuando x tiende a c”, lo cual
significa que los valores de f(x) se aproximan arbitrariamente a un numero “L”, cuando los valores de x lo
hacen hacia el valor “c”, y se escribe:
TIPOS DE LÍMITES
En matemática, se
llama forma indeterminada a una expresión algebraica que
involucra límites del tipo:
.
Estas
expresiones se encuentran con frecuencia dentro del contexto del límite de funciones y, más generalmente, del cálculo infinitesimal y el análisis real.
Contra lo que se pudiera pensar, un límite de la
forma
no
da, en general, como resultado cero, tampoco un límite de la forma
da
siempre como resultado uno. Por esta razón se les llama límites indeterminados
y se requiere hacer un estudio particular para cada caso.
TIPOS DE LÍMITES
1.- Limite de una constante
y
X = 7 7
4 x
Sin
importa el valor al que tienda el valor de
“x” el límite de una constante “c” siempre es igual a la constante “c”.
2.- Limite de una
función cuando el valor de “L” es un número
Si
la función está totalmente simplificada se sustituye directamente el valor a
que tiende la variable independiente en la función dando lugar al límite
buscado.
Ejemplos
Determina el límite de
las siguientes funciones:
3.- Limite de una
función cuando el valor de “L” es una indeterminación
Existen
funciones en laque si se sustituye el limite directamente resultan formas
indeterminables (
las cuales habrá que evitar utilizando métodos
algebraicos como puede ser la aplicación de productos notables y la
factorización.
Aplicando
la factorización por termino comun tanto en el numerador como en el denominador
para eliminar “x” arriba y abajo
Aplicando
la factorización de diferencia de cuadrados que es igual al producto de
binomios conjugados
Aplicando la
factorización del trinomio de la forma
Aplicando
la factorización de diferencia de cuadrados que es igual al producto de
binomios conjugados
Aplicando
la factorización de diferencia de cuadrados que es igual al producto de
binomios conjugados
Aplicando la
factorización del trinomio de la forma
tanto en el numerador como en el denominador.
Aplicando la
factorización de la diferencia de cubos en el numerador y la factorización de
la diferencia de cuadrados en el denominador.
Determina el límite de las siguientes funciones:
Realiza los siguientes ejercicios:
El concepto de infinito y sus propiedades
El concepto de infinito
en matemática:
= Es una cantidad sin límite,
que nunca termina y puede ser
Propiedades:
Infinito mas cualquier
cantidad sigue siendo infinito
Infinito mas otro
infinito sigue siendo infinito
Infinito por cualquier
cantidad sigue siendo infinito
Limites importantes
Operaciones básicas utilizando infinito.
Suma y resta
Multiplicación División
Potencias
Indeterminaciones sin solución
Limite de funciones cuando “x” tiende a infinito
Cuando la variable independiente tiende a infinito (
), cada termino del
numerador y denominador se divide entre la variable de mayor grado (exponente
mayor), se realizan las operaciones o simplificaciones correspondientes y se
toma el limite.
NOTA: Si la mayor potencia de la variable esta en el numerador,
el límite es indeterminado. Si esta en el divisor, el límite es cero. Si esta
tanto en el numerador como en el denominador, el límite es el cociente de los
coeficientes que tienen la mayor potencia de la variable independiente.
Resuelve los siguientes
ejercicios.
LIMITES
Punto o línea que señala el fin o término de
una cosa no material; suele indicar un punto que no debe o no puede
sobrepasarse.
Línea real o imaginaria que marca el fin de una
superficie o cuerpo o la separación entre dos entidades.
LIMITES DE UNA FUNCION
En matemática, el límite es un concepto que
describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los
parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor.
De modo informal diremos que se habla de límite cuando se quiere describir
procesos de comportamiento tendencial entre magnitudes variables.
Como introducción al estudio de este concepto,
haremos un planteamiento informal de la idea de límite. Primero observemos la secuencia de números cuyos valores denotamos
con la variable “x” y que están dados en las siguientes tablas:
X
f(x)
1,9
3,61
1,99
3,9601
1,999
3,996001
...
...
↓
↓
2
4
x
f(x)
2,1
4.41
2,01
4,0401
2,001
4,004001
...
...
↓
↓
2
4
x
f(x)
0.9
3,61
0.99
3,9601
0.999
3,996001
0.9999
3.996089
↓
↓
1
4
x
f(x)
1.01
4.41
1.001
4,0401
1.0001
4,004001
1.00001
4.004011
↓
↓
1
4
Es evidente que a medida
que estos valores se recorren hacia la derecha van aproximándose al número 2 y al
número 1 respectivamente, por la izquierda, o, como diremos, “x tiende a 2” y
“x tiende a 1”, que se representa
, respectivamente. De forma análoga, las
secuencias de las tablas anteriores, indican que “x tiende a 2” y “x tiende a
1” respectivamente, pero ahora por la derecha, o bien
.
Para decir que la variable tiende a 2 ó a 1 tanto por la izquierda como
la derecha escribimos simplemente
respectivamente.
Gráficamente podemos
ver:
Cuando los valores de
“x “se acercan a “c” por cualquier lado, los valores de f(x) se acercan a un
valor “L” el cual corresponde al límite de la función. Ahora podemos definir qué:
El límite de una Función f(x) es L cuando x tiende a c”, lo cual
significa que los valores de f(x) se aproximan arbitrariamente a un numero “L”, cuando los valores de x lo
hacen hacia el valor “c”, y se escribe:
TIPOS DE LÍMITES
En matemática, se
llama forma indeterminada a una expresión algebraica que
involucra límites del tipo:
.
Estas
expresiones se encuentran con frecuencia dentro del contexto del límite de funciones y, más generalmente, del cálculo infinitesimal y el análisis real.
Contra lo que se pudiera pensar, un límite de la
forma
no
da, en general, como resultado cero, tampoco un límite de la forma
da
siempre como resultado uno. Por esta razón se les llama límites indeterminados
y se requiere hacer un estudio particular para cada caso.
TIPOS DE LÍMITES
1.- Limite de una constante
y
X = 7 7
4 x
Sin
importa el valor al que tienda el valor de
“x” el límite de una constante “c” siempre es igual a la constante “c”.
2.- Limite de una
función cuando el valor de “L” es un número
Si
la función está totalmente simplificada se sustituye directamente el valor a
que tiende la variable independiente en la función dando lugar al límite
buscado.
Ejemplos
Determina el límite de
las siguientes funciones:
3.- Limite de una
función cuando el valor de “L” es una indeterminación
Existen
funciones en laque si se sustituye el limite directamente resultan formas
indeterminables (
las cuales habrá que evitar utilizando métodos
algebraicos como puede ser la aplicación de productos notables y la
factorización.
Aplicando
la factorización por termino comun tanto en el numerador como en el denominador
para eliminar “x” arriba y abajo
Aplicando
la factorización de diferencia de cuadrados que es igual al producto de
binomios conjugados
Aplicando la
factorización del trinomio de la forma
Aplicando
la factorización de diferencia de cuadrados que es igual al producto de
binomios conjugados
Aplicando
la factorización de diferencia de cuadrados que es igual al producto de
binomios conjugados
Aplicando la
factorización del trinomio de la forma
tanto en el numerador como en el denominador.
Aplicando la
factorización de la diferencia de cubos en el numerador y la factorización de
la diferencia de cuadrados en el denominador.
Determina el límite de las siguientes funciones:
Realiza los siguientes ejercicios:
El concepto de infinito y sus propiedades
El concepto de infinito
en matemática:
= Es una cantidad sin límite,
que nunca termina y puede ser
Propiedades:
Infinito mas cualquier
cantidad sigue siendo infinito
Infinito mas otro
infinito sigue siendo infinito
Infinito por cualquier
cantidad sigue siendo infinito
Limites importantes
Operaciones básicas utilizando infinito.
Suma y resta
Multiplicación División
Potencias
Indeterminaciones sin solución
Limite de funciones cuando “x” tiende a infinito
Cuando la variable independiente tiende a infinito (
), cada termino del
numerador y denominador se divide entre la variable de mayor grado (exponente
mayor), se realizan las operaciones o simplificaciones correspondientes y se
toma el limite.
NOTA: Si la mayor potencia de la variable esta en el numerador,
el límite es indeterminado. Si esta en el divisor, el límite es cero. Si esta
tanto en el numerador como en el denominador, el límite es el cociente de los
coeficientes que tienen la mayor potencia de la variable independiente.
Resuelve los siguientes
ejercicios.
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- Note on Untitled, created by basilio.ms on 24/10/2014.
- Created by
- basilio.ms · Oct 2014
- Updated
- Oct 30, 2016
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