introducción a las matemáticas

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ÍNDICE

Aritmética .................................................................................................... 4

Clasificación de números....................................................................... 4

Recta numérica.......................................................................................... 5

Valor absoluto............................................................................................ 5

Operaciones con Números Enteros..................................................... 5-7

Números racionales................................................................................. 8

Fracciones en la recta numérica........................................................... 8

Conversión de fracciones impropias

a mixtas y viceversa................................................................................. 9

Operaciones con fracciones.................................................................. 9-14

Potencias y Raíces................................................................................... 15-19

Razones y proporciones......................................................................... 20-21

Tanto por ciento........................................................................................ 21-22

Lenguaje Algebraico................................................................................ 22

Relaciones y Funciones.......................................................................... 23-31

Productos y Cocientes Notables.......................................................... 31-34

Ecuaciones................................................................................................. 35-36

Sistemas de ecuaciones......................................................................... 37-40

Geometría (áreas y volúmenes)............................................................. 41-46

Teorema de Pitágoras.............................................................................. 47-49

Funciones Trigonométricas................................................................... 50-53

Gráficas de funciones trigonométricas............................................... 54-56

Plano Cartesiano....................................................................................... 57

Ecuación de la recta................................................................................. 58-67

Distancia entre dos puntos.................................................................... 67-68

Probabilidad............................................................................................... 69-73

Estadística................................................................................................... 74-78

Tablas y gráficos....................................................................................... 79-81

ANEXO 1...................................................................................................... 78-80

ARITMÉTICA

CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS.

N - NÚMEROS NATURALES

Un número natural es cualquiera de los números 0, 1, 2, 3... y se pueden usar para contar elementos o cosas

Z - NÚMEROS ENTEROS

Los números enteros son del tipo: -59, -3, 0, 1, 5, 78, 34567, etc., es decir, LOS NATURALES Y sus opuestos (negativos).

Q - NÚMEROS RACIONALES

Número racional es todo aquel número que puede ser expresado como resultado de la división de dos números enteros. Comúnmente es a lo que se les llama números decimales, tanto en fracción como expresado con comas.

Cualquier número puede representarse como una fracción de denominador 1 por lo tanto los NUMEROS NATURALES Y ENTEROS SON RACIONALES.

I - NÚMEROS IRRACIONALES

No pueden representarse en forma fraccionaria. Los números irracionales se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales que no siguen ningún patrón repetitivo.

Debido a ello, los más celebres números irracionales son identificados mediante símbolos. El más conocido es:

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π (Pi): relación entre el perímetro de una circunferencia y su diámetro.

R - NÚMEROS REALES

Como su propio nombre indica, son todos los números, RACIONALES E IRRACIONALES

NÚMEROS ENTEROS

La recta numérica

Los números enteros pueden ordenarse de menor a mayor en la recta numérica.

Ejemplo:

El cero representa el origen o centro de la recta. Mientras más grande sea un número, estará representado más a la derecha en la tabla numérica.

No sólo los números enteros se pueden ubicar en la recta numérica, podemos asignar un lugar en ella a cualquier número real, por ejemplo, el número 1.5 estará exactamente en medio del 1 y el 2. Para ubicar un número racional por ejemplo el ¾ tendremos que hacer la división 3 entre 4 para obtener la cantidad 0.75 lo que nos da una mejor idea de su posición en la recta.

Valor absoluto

El valor absoluto de un número es la distancia que le separa del cero en la recta numérica.

A la operación que indica valor absoluto se asigna el símbolo | | donde dentro de las dos barras se ubicará el número. Por ejemplo:

Calcular el valor absoluto del número -3.

|-3| = 3

Debido a que la distancia que hay entre el -3 y el 0 es igual a 3.

El número absoluto de cualquier cantidad siempre será positivo.

Operaciones con números enteros

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Suma y Resta

Cuando los números enteros tienen el mismo signo: se suman los valores y se deja el signo que tengan, si son positivos signo positivo y si son negativos signo negativo. Si no se pone nada delante del número se entiende que es +.

Ejemplos

(+5) + (+4) = +9 es lo mismo que: 5 + 4 = 9

(- 5) + (- 4) = - 9 es lo mismo que: - 5 - 4 = - 9

Cuando los números enteros tienen distinto signo: se restan sus valores absolutos y se pone el signo del sumando de mayor valor absoluto.

Ejemplos

(+20) + (-10) = 20 -10 = +10 20 -10 =10, la cantidad más grande es +20, por ello se dejó el signo positivo como resultado

(- 8) + (+3) = - 8 + 3 = - 5 (8 - 3 = 5, el más grande es el - 8, se pone -5)

Regla de los signos

La regla de los signos se utiliza para conocer el signo que se obtendrá cuando se multiplican o dividen dos cantidades, la regla es la siguiente

Por tanto decimos que signos iguales nos dan (+), y signos diferentes nos dan (-)

Cabe mencionar que esta regla no es válida para sumas y restas por lo que no se debe confundir con operaciones de suma como (- 8) + (+3).

Multiplicación y División

Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores absolutos y se aplica la regla de los signos. Cuando van dos signos seguidos hay que separarlos utilizando paréntesis.

Ejemplos

- (+8) × (+3) = + 24

- (-2) × (+4) = - 8

Para dividir dos números enteros se divide el dividendo entre el divisor y se aplica la regla de los signos. Una división es exacta cuando el resto es 0, es decir, cuando el resultado es un número entero exacto.

Ejemplos:

- (-15) ÷ (-15) = +1

- (- 4) ÷ (-2) = +2

- (- 5) ÷ (+4) = -1.25

En los dos primeros ejemplos las divisiones son exactas mientras que en el último no lo es.

EJERCICIOS

SUMA

1) 28 + 1 = ______

2) 85 + 4 = ______

3) 25 + 4 = ______

4) 13 + 2 = ______

5) 21 + 8 = ______

6) 90 + 6 = ______

7) 32 + 7 = ______

8) 37 + 2 = ______

9) 26 + 1 = ______

10) 23 + 3 = ______

RESTA

1) 60 − 60 = _______

2) 90 − 60 = _______

3) 80 − 40 = _______

4) 50 − 50 = _______

5) 100 − 100 = _______

6) 20 − 20 = _______

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7) 20 − 10 = _______

8) 30 − 10 = _______

9) 10 − 10 = _______

10) 40 − 40 = _______

MULTIPLICACIÓN

1) 8 x 61 = _______

2) 2 x 82 = _______

3) 8 x 23 = _______

4) 8 x 77 = _______

5) 5 x 80 = _______

6) 2 x 59 = _______

7) 2 x 56 = _______

8) 7 x 35 = _______

9) 6 x 58 = _______

10) 5 x 55 = _______

DIVISIÓN

1) 60 ÷ 7 = _______

2) 64 ÷ 4 = _______

3) 96 ÷ 9 = _______

4) 100 ÷ 3 = _______

5) 89 ÷ 2 = _______

6) 36 ÷ 3 = _______

7) 23 ÷ 7 = _______

8) 95 ÷ 8 = _______

9) 30 ÷ 7 = _______

10) 47 ÷ 3 = _______

Para aprender sobre la jerarquía de operaciones revisar el ANEXO1 al final de la guía

NÚMEROS RACIONALES

Son todas las fracciones comunes, las cuales representan una división de números enteros.

Al número de arriba lo llamamos Numerador, es el número de partes que tienes.

Al de abajo lo llamamos Denominador, es el número de partes en que se ha dividido el total.

Las fracciones pueden ser:

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Propias: Su valor es menor a la unidad (un entero, uno), es decir el numerador es menor que el denominador.

Ejemplos:

1/3, 3/4, 2/7

Impropias: Su valor es mayor o igual a la unidad (un entero, uno), es decir el numerador es mayor o igual que el denominador.

Ejemplos:

4/3, 11/4, 7/7

Mixtas: Se forma de un entero y una fracción propia

Ejemplos:

1 1/3, 2 1/4, 16 2/5

Ubicar fracciones en la recta numérica

Los números pueden representarse como puntos de una recta graduada.Para ubicar fracciones, divides el entero (o los enteros) en tantas partes como indica el denominador y tomas las que indica el numerador. Por ejemplo:

Conversión de fracciones impropias a mixtas y viceversa

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Suma de fracciones.

Si dos fracciones tienen el mismo denominador, se suman los numeradores y se deja el mismo denominador. Si la fracción resultado se puede simplificar, se simplifica.

Ejemplo:

25+15=2+15=35

Fracciones equivalentes

Son fracciones que representan la misma cantidad. Por ejemplo 12,24, 50100 y son equivalentes, ya que las tres tienen el mismo valor (0.5). Una forma de comprobar si las fracciones son equivalentes, es convertirlas a notación decimal.

Mínimo común múltiplo

El mínimo común múltiplo se abrevia m.c.m. y representa el número más pequeño posible que pueda dividir exactamente a todos los denominadores de una suma de fracciones. Se emplear para sumar o restar fracciones de distinto denominador, tomando el m.c.m de los denominadores de las fracciones, y convirtiéndolas en fracciones equivalentes que puedan ser sumadas. Véase el siguiente ejemplo:

16+433=

Para poder efectuar la suma, primero se debe buscar el mínimo común múltiplo de los denominadores (6 y 33).

Luego el mínimo común múltiplo de 6 y 33 es:

mcm6,33=2×3×11=66

Que corresponde al número 66; ambas fracciones tendrán como denominador 66, ahora sólo hay que hallar a cada fracción su fracción equivalente, con denominador 66 y será posible la suma:

16+433=16×1111+433×22=1166+866=1966

Si las fracciones tienen distinto denominador se reducen a común denominador (mediante el cálculo del m.c.m) y se suman los numeradores dejando el denominador. Finalmente, si es posible se simplifica.

Ejemplo: 16+24=212+612=812=23

Resta de fracciones

Si dos fracciones tienen el mismo denominador, se restan los numeradores y se deja el mismo denominador. Si la fracción resultado se puede simplificar, se simplifica.

Ejemplo:

35-15=3-15=25

Si las fracciones tienen distinto denominador se reducen a común denominador y se restan los numeradores dejando el denominador. Finalmente, si es posible se simplifica.

Ejemplo:

56-24=1012-612=10-612=412=13

Multiplicación de fracciones

Para multiplicar fracciones se multiplica numerador por numerador y denominador por denominador y , por supuesto, si se puede simplificar se simplifica.

Ejemplo:

47×148=4×147×8=5656=1

División de fracciones

Para dividir dos fracciones multiplicamos en cruz. Luego se simplifica.

35÷1510=3×105×15=3075=25

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EJERCICIOS

Transforma las fracciones impropias en sus números mixtos correspondientes y viceversa.

a) 187=

b) 523=

c) 385=

d) 459=

e) 272=

Representa gráficamente las siguientes fracciones. Determina si son fracciones propias, fracciones igual a la unidad o fracciones impropias. Transforma las fracciones impropias en números mixtos .

a)12

b)23

c)24

d)312

e)176

Representa en la recta numérica:

a) 12

b) 75=125

c) 123=4

d) 176=256

e)35

Calcula:

a)58+18=

b)35-15=

c)512+112=

d)97-37=

e)716+78=

Calcula:

a)49·3=

b)113·131=

c)7·528=

d)54·315=

e)16·16=

Calcula:

a)59÷23=

b)94÷78=

c)9÷23=

d)217÷3=

e)310÷58=

Calcula:

a) 25:34+12=

b) 4-56:43=

c) 34:23-18:29=