Autovalor e Autovetor

Page 1

(=δij={ 1 se i=j / 0 se i≠j }

Proposição: Todo conjunto ortonormal S={g1, ..., gr} contido no espaço euclidiano V é necessariamente Linearmente Independente.

Demo:

Existe α1, ..., αr E conjunto R/ α1g1+α2g2+...+αrgr=0

0 = <0,g1> = <α1g1+α2g2+...+αrgr , g1> = α1 + α2 + ... + αr = α1

0 = <0g2> = <α1g1+α2g2+...+αrgr, g2> = α1 + α2 + ... + αr = α2

Analogamente, usando mesmo raciocínio temos que α1 = α2 = ... = αr = 0. Portanto S é LI.

Proposição(*): Seja V um espaço euclidiano de dimensão finita. Seja S={ g1, ..., gr} conjunto ortonormal contido em V. Então, sabendo que u E V o vetor v

v = u - g1 - g2 - ... - gr é ortogonal a todo vetor do subespaço vetorial gerado pelos vetores de S.

Def: Seja V um espaço euclidiano de dimensão finita. Se um conjunto B={g1,...,gn} contido em V é uma Base de V e simultaneamente um conjunto ortonormal dizemos que B é uma Base Ortonormal de V.

Teorema: Processo de Ortonormalização de Gram Schmidt

Todo espaço vetorial euclidiano V de dimensão finita (≠0) admite uma Base Ortonormal.

Demo:

Se dimV = 1, se {u1} base de V, então g1= u1 / ||u1||, {g1} base ortonormal de V

Se dimV= 2, {u1, u2} base de V g1 = u1 / ||u1||

v2=u2-g1 é ortogonal aos vetores pela Prop(*)

Logo {g1,g2} base ortonormal de V.

Se dimV=3, {u1,u2,u3^}, 1 = u1 / ||u1||

Exemplo:

(1) Aplicar o processo de Gran Schmidt à base B= {(1,0,0), (0,1,1), (0,1,2)} do conjunto dos reais R³.

g1=u1 / ||u1|| = (1,0,0)

v2 = u2-g1=(0,1,1)-<(0,1,1),(1,0,0)>(1,0,0) = (0,1)

g2=v2/||v2||=(0,1,1)/√2=(0,√2/2,√2/2)

v3=u3g1-g2=(0,1,2)-<(0,1,2),(1,0,0)>(1,0,0)-<(0,1,2),(0,√2/2,√2/2)>(0,√2/2,√2/2)=(0,1,2)-<0,0,0>(1,0,0)-

-(0,√2/2,√2)(0,√2/2,√2/2)=(0,1,2)-0-(0,1/2,1)=(0,1/2,1)

0,-1/2,1/2

g3=(0,-1/2,12)/√2/2

Def: Seja V um espaço euclidiano de dimensão finita. Se U é subespaço vetorial de V dicaremos por U¹ = {v E V / =0, sendo u E U} é um subespaço vetorial de V. (exercício)

Def: O subespaço vetorial U¹ definido acima é chamado complemento ortogonal de V.

Proposição: Seja V um espaço euclidiano de dimensão finita, então V = U +(somadireta) U¹, ou seja, V= U + U¹ e U∩U¹ = {0}.

Page 2

Def: Seja V um espaço vetorial sobre |R. e T.V→V um operador linear. Um vetor u E V, u≠0 é chamado autovetor de T se existir um escalar λ E |R / T(u)=λu.. Neste caso, dizemos que λ é o autovalor de T associado a u.

Lema: O ecalar λ é univocamente determinado.

T(u)=λu =>

T(u)=λ'u=> λu-λ'u=0= (λ-λ') u=0 Se u não pode ser 0, então λ-λ'=0 =>λ=λ'

Def: Seja V um espaço vetorial sobre |R, T E L(V) e λ um autovalor de T. O subespaço vetorial V(λ) = {u E V/ T(u) = λu} =

= Ker (T-λI) onde I: operador idêntico

é chamado de SUBESPAÇO PRÓPRIO do autovalor λ. Se V tem dim finita,

Page 3

[EXEMPLO] Seja T: |R³→R³, T(x,y,z)=(x,y,x). Encontre os autovalores de T, subespaços próprios MG E MA de cada autovalor.

(T) = (1 0 0)

(0 1 0)

(1 0 0)

Polinômio Característico:

det|1-λ 0 0|

|0 1-λ 0| = (1-λ²)(-λ)=0 autovalores = 0, 1 , 1

|1 0 -λ|

Subespaços Próprios

λ = 0 V(0)={(x,y,z) E |R³ / T(x,y,z) = 0(x,y,z)}

V(0)={(x,y,z) E |R³ / (x,y,x) = (0,0,0)}

V(0)={(0,0,z) / z E |R}

V(0)={(0,0,1)} sendo a base {(0,0,1)} ou seja dimV(0) = 1 multiplicidade algébrica = 1, multiplicidade geométrica =1