Probabilidad mates

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PROBABILIDAD

Experimentos aleatorios: Son aquellos en los que no se puede predecir el resultado, ya que éste depende del azar. Ejemplo: Si lanzamos una moneda no sabemos de antemano si saldrá cara o cruz.

Teoría de probabilidades La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es más probable que otro. Con este fin, introduciremos algunas definiciones:

Suceso: Es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria. Ejemplo: Al lanzar un dado se obtenga 4.

Espacio muestral: Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo representaremos por E. Suceso aleatorio: Es cualquier subconjunto del espacio muestral.

Un ejemplo completo Una bolsa contiene bolas blancas y negras. Se extraen sucesivamente tres bolas. Calcular:

1. El espacio muestral.

E = {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b); (n, n,n)}

2. El suceso A = {extraer tres bolas del mismo color}.

A = {(b,b,b); (n, n,n)}

3. El suceso B = {extraer al menos una bola blanca}.

B= {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b)}

4. El suceso C = {extraer una sola bola negra}.

C = {(b,b,n); (b,n,b); (n,b,b)}

Suceso seguro, E, está formado por todos los posibles resultados (es decir, por el espacio muestral).

Suceso imposible, , es el que no tiene ningún elemento.

Dos sucesos, A y B, son compatibles cuando tienen algún suceso elemental común.

Dos sucesos, A y B, son incompatibles cuando no tienen ningún elemento en común.

Dos sucesos, A y B, son independientes cuando la probabilidad de que suceda A no se ve afectada porque haya sucedido o no B.

Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve afectada porque haya sucedido o no B.

El suceso contrario a A es otro suceso que se realiza cuando NO se realiza A.

Espacio de sucesos, S, es el conjunto de todos los sucesos aleatorios.

Si tiramos una moneda el espacio se sucesos está formado por:

S= {O/, {C}, {X}, {C,X}}.

Observamos que el primer elemento es el suceso imposible y el último el suceso seguro.

Si E tiene un número finito de elementos, n, de elementos el número de sucesos de E es 2^n .

Unión de sucesos La unión de sucesos, AuB, es el suceso formado por todos los elementos de A y de B.Es decir, el suceso AuB se verifica cuando ocurre uno de los dos, A o B, o ambos. Es decir, A+B.

Intersección de sucesos La intersección de sucesos, AnB, es el suceso formado por todos los elementos que son, a la vez, de A y B.

Es decir, el suceso AnB se verifica cuando ocurren simultáneamente A y B. Es decir, A y B.

Diferencia de sucesos La diferencia de sucesos, A − B, es el suceso formado por todos los elementos de A que no son de B.

Es decir, la diferencia de los sucesos A y B se verifica cuando lo hace A y no B.

A − B se lee como "A menos B".

Ejemplo: Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A − B.

A = {2, 4, 6}

B = {3, 6}

A − B = {2, 4}

Propiedad de la diferencia de sucesos: A - B = A n B(contr)

Suceso contrario El suceso A (contr) = E - A se llama suceso contrario o complementario de A.Es decir, se verifica siempre y cuando no se verifique A.

Axiomas de la probabilidad

0 ≤ p(A) ≤ 1 p(E) = 1 p(A u B) = p(A) + p(B)

Probabilidad de la unión de sucesos

a) Si son incompatibles: p(A u B) = p(A) + p(B)

b) Si son compatibles: p(A u B) = p(A) + p(B) − p(A n B)

Sucesos independientes Dos sucesos A y B son independientes si p(A/B) = p(A)

P(A n B) = p(A) · p(B)

Sucesos dependientes Dos sucesos A y B son dependientes si p(A/B) ≠ p(A)

P(A n B) = p(A) · p(B/A)

Recopilación datos en probabilidad a) Tablas de contingencia

b) Diagrama de árbol