Espacios vectoriales - created from Mind Map

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DEFINICIÓN

SUBESPACIOS VECTORIALES

COMBINACIÓN LINEAL Y ESPACIO GENERADO

INDEPENDENCA Y DEPENDENCIA LINEAL

BASES Y DIMENSIONES

TEORÍA ESPACIOS VECTORIALES

¿Qué es?

Propiedades básicas

Notación

Es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (suma) y una operación externa (producto escalar)

Cerradura aditiva

Cerradura multiplicativa

conmutatividad

Asociatividad

Elemento neutro aditivo= 0

u+v=V*u

u+(v+w)= (v+u)+w

Distributividad respecto a un escalar

Disributividad respecto a un vector

Asociatividad multiplicatica

Elemento neutro multiplicativo= 1

(a+b)*u= a*u+ b*u

a+(u+v)= a*u+a*b

a*(b*u)= a*b*u

Dado un espacio verctorial v sobre un cuerpo k

Los elementos de k son escalares

Los elementos de V son vectores

¿Qué es?

es un subconjunto de un espacio vectorial

también es un espacio vectorial en sí

espacio vectorial hijo

Tiene las características del espacio vectorial padre

Combinación lineal

Espacio generado

en el caso del vetor v= (ai+bj+ ck). v es combinación lineal de i, j,, k

av1, v2, V3..Vn= vectores en un espacio vectorial v (A1V1+A2V2+...AnVn) Donde A1, A2.. An son escalares se denomina combinación lineal de v1, v2...Vn

SI V= GEN[V1, V2, V3, Vn] DIiremos que, (V1, V2, V3... Vn) genera V y que (V1, V2, V3.. Vk) es conjunto generador de

notación

GEN [V1, V2, V3.. Vn]

Dado un conjunto de vectores S= {v1, v2, v3,..,..,vn} en un espacio

dependencias

independencias

vectorial V, se dice que S es linealmente dependiente si la ecuación: c1v1 + c1v2+...+cnvn=0

Tiene solución no trivial, entonces c1, c2, c3,...cn; no todos son cero

vectorial V, se dice que S es linealmente independiente si la ecuación: c1v1 + c1v2+...+cnvn=0

Tiene solamente solución la trivial entonces c1=c2=c3...=cn =0

CAMBIO DE BASES

SEa un espacio vectorial real y S= (V1, V2, V3.. Vn) elementos de V

sea V en un espacio vectorial V de dimensiones finitas, y sean B= (V1, V2, V3.. Vn) Y B` = (v`1, v`2, v`3.. v`n) dos bases. la relación entre [v]B y [v]B` está dada por

[v]B=P[v]B`

S es base de V si y solo si

1) S es linealmente independiente 2)S genera a V 3)el número de elementos de la base se llama la dimensión de V (DIM V)

Existencia de base opcional

fundamentos