Flashcards
Höhere Mathematik 1 und 2
Cards in this deck (86)
- 1Eigenschaften Beträge einer komplexen Zahl- Der Betrag ist immer größer gleich 0
-Ist der Betrag 0, so ist z=0
-Der Betrag von z1*z2 ist das selbe wie das Produkt der einzelnen Beträge
-Die Summe der Beträge von z1 und z2 ist immer kleiner gleich als die Summe der einzelnen Beträge(Dreiecksungleichung) - 2Eigenschaften einer Konjugiert komplexen Zahl-Die doppelt konjugiert komplexe Zahl gibt wieder dieselbe komplexe Zahl
-Konjugiert komplexe Summen und Produkte sind sind gleich der Summe und der Produkte der einzelnen komplexen Zahlen
-re(z)=0.5*(z+z*)
-im(z)=(1/2i)*(z-z*)
-abs(z)=sqrt(z mal z*)
z mal z*=x^2+y^2 - 3Was ist zu tun, wenn eine komplexe Zahl im Nenner steht?Multipliziere Zähler und Nenner mit der Konjugiert komplexen Zahl
- 4Wie lautet die Polarkoordinatendarstellung von komplexen Zahlen?z=abs(z)*(cos()+i*sin())
- 5Was passiert mit den Beträgen und Argumenten von komplexen Zahlen bei der MultiplikationBeträge werden multipliziert, Argumente werden addiert
- 6Wie lautet eine komplexe Zahl in Eulerscher Form?z=abs(z)*exp(i*argument)
- 7Komplexe Zahlenebene-Immer Realteil und Imaginärteil vergleichen
-Bei ungleichungen evtl. auf Fallunterscheidungen achten
-Bei beträgen:Versuchen als Differenz darzustellen, dann evtl. mittelpunkt und Radius von Kreis finden
-Kreisgleichung mit quadratischer Ergänzung ermitteln
-Ellipsengleichung finden - 8Ellipsengleichung(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1
Dabei a große Halbachse und b kleine Halbachse - 9Nullstellen eines Polynoms-Hat ein Polynom eine komplexe Nullstelle, so ist die komplex konjugierte Zahl ebenfalls eine Nullstelle(Polynom muss reel sein)
-Jedes Polynom des Grad >=1 hat in C mindestens 1 Nullstelle
-z* heißt k-fache Nullstelle von p falls p durch (z-z*)^k teilbar ist - 10Nullstellen eines Polynoms (2)-Besitzt ein Polynom vom Grad n n+1 Nullstellen, so ist p=0
-Stimmen zwei Polynome p und q jeweils vom Grad n an n+1 Stellen überein, so ist p=q - 11Einheitswurzel-Die Nullstellen verteilen sich gleichmäßig auf dem Einheitskreis
-versuchen phi immer als Formel in Abhängigkeit von k darzustellen - 12Superpositionsprinzip diff.GleichungenJede Linearkombination der Lösungen geben einer erneute Lösung
- 13AnfangswertproblemSetze Anfangsbedingung ein und löse mit linearem Gleichungssystem nach alpha und beta auf
- 14Charakteristisches Polynom komplexe Nullstellen-Anstatt alpha und beta element r wähle c1 und c2 element c
-wandle um: anstatt c1+c2 nehem c1+c1*(fallsy(x) element r)
-Schreibe in Polarform
-Schreibe um mit c1`cos(x)+c2´sin(x) mit c´element r - 15Inhomogene Diff.gleichung-Lösung ist summe aus homogener und inhomogener Lösung
-inhomogene Lösung=P(x)*exp(sx)*x^q
-Setze diese in die Gleichung ein(hier muss abgeleitet werden)
-Löse nach c auf (evtl. Koeff-Vergleich) - 16Mehrfache Nullstelle bei char.Polynom-Lösung: c1*e^+c2*x*e^+c3*x^2*e^+....
- 17Ansatz für sin(x) und cos(x) bei diffgleichungen(a*cos(kx)+b*sin(kx))*x^q
- 18Skalarprodukt-abs(a)*abs(b)*cos(phi)
- 19Vektorprodukt-Der Betrag des Vektorprodukts ist gleich dem von a und b aufgespanntem Parallelogram
-Das Vektroprodukt axb steht senkrecht auf a und b
-axa=0
-axb=-bxa
-(c*a)xb=c*(axb) - 20Spatprodukt-3 Vektoren spannen ein Volumen auf:(axb,c)
- 21Hessesche Normalform-Finde orthogonalen Vektor n
-Berechne p mit p=(n*,a) und a als Stützvektor und n* als normiertes n
-(n*, a)-p=0, wenn p <0 ist (also dann eigentlich + da steht), multipliziere mit -1 durch
-p ist der Abstand zum Ursprung
-setzt man für a x in HNF ein, so erhält man abstand zu beliebigem Punkt - 22Gleichungsdarstellung Gerade-parameterdarstellung "ausmultiplizieren"
-im Gleichungssystem dann lambda eliminieren
-Dann zwei gleichungen(Schnitt zweier Geraden)
-In andere Richtung: 1 x gleich lambda setzen, dann x übereinanderschreiben und parameterform ablesen(Darstellung nicht eindeutig) - 23Abstände mit ebene-Ursprung-Ebene: n**a
-Punkt ebene:In HNF einsetzen
-Gerade-Ebene: n**(r-a) (r element g und a element e)
-Ebene-Ebene: Analog zu gerade-Ebene - 24Abstände mit Gerade-Gerade g und Gerade h windschief:bilde Hilfsebene, in der Gerade g liegt. Jetzt wie abstand Ebene und Gerade h
-Gerade g und Gerade h parallel: HE senkrecht zu beiden, Ermittle SP, abstand der SP gleich Abstand gerade
- - 25Schnittwinkel-gerade-gerade: cos(a)=(u,v)/(abs(u)*abs(v))
-ebene-ebene:analog, nur mit normalenvektor
-ebene-gerade: sin(a)=(n,v)/(abs(n)*abs(v)) - 26Implikation-Wenn gilt: A=>B, dann ist A hinreichend für B und B notwendig für A
- 27Beweisarten-direkter Beweis: A=>B
-indirekter Beweis: nicht B=> nicht A
-Widerspruchsbeweis: nicht(nichtB und A) - 28Induktion-Induktionsanfang (zeige für n=1)
-Induktionsvoraussetzung: nochmal Aussage hinscreiben, gilt für alle n e ...
-Induktionsbehauptung:setze n+1 ein
-Induktionsschritt: Verwende Induktionsvoraussetzung und fasse zusammen - 29Permutation (Vertauschungen)-Für ein n-elementiges Tupel gibt es n! verschiedene Permutationen (Vertauschungen)
- 30Binomialkoeffizient-n über k=(n!)/((n-k)!*k!)
- 31Pascalsche Regel(m über k)+(m über k+1)=(m+1 über k+1)
- 32Vereinigung, Schnitt, Differenz-x e M oder x e N
-Schnitt x e M und x e N
-Differenz x e M und x nicht element N - 33Komplement und Disjunkt-Wenn N teilmenge von M und Nc=M differenz N, so heißt Nc komplement von N
-M und N heißen disjunkt, wenn M geschnitten N gleich der leeren Menge - 34Kartesisches Produkt, Potenzmenge-Kartesisches Produkt: M=(1,2) N=(3,4):
MXN=[(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)], dabei MXX nicht dasselbe wie NXM
-Potenzmenge: Alle möglichen Teilmengen einer Menge, auch leere Menge enthalten (nicht doppelt wegen anderer Reihenfolge!) - 35Relationen-Relationen setzen Elemente von M und N in Verbindung
-Relation ist Teilmenge von MXN
-BSP.: Jede Funktion ist eine relation - 36Äquivalenzrelation-aRa für alle(Reflexivität)
-aRb=bRa (Symmetrie)
-aRb und bRc => aRc (Transitivität)
-Ist R eine äquivalenzrelation, so zerfällt M in disjunkte Teilmengen - 37Ordnungsrelation-aRa für alle a (Reflexivität)
-aRb und bRa=> a=b (Antisymmetrie)
-aRb und bRc=> aRc (Transitivität)
-gilt zusätzlich: für x ungleich y ist xRy oder yRx haben wir eine Totalordnung - 38Schranken und Beschränktheit-Obere Schranke: jede Zahl, die größergleich ist, als die größte Zahle der Menge
-untere Schranke: dasselbe Analog
-M heißt beschränkt, falls M nach oben und unten beschränkt ist, d.h. eine obere und eine untere Schranke existiert - 39Supremum, Infimum, Minimum, Maximum-Supremum: die kleinste obere Schranke
-Infimum: größte untere Schranke
-Maximum: größte in Menge enthaltene Zahl
-Minimum:kleinste in Menge enthaltene Zahl
-Jede nichtleere nach oben beschränkte Menge besitzt ein Supremum(analog infimum) - 40Abbildungen-Abbildung M ->N: M ist Defintionsbereich, N ist Bildbereich
-Abbildung, wenn wedem x e M höchstens 1 y e N zugeordnet wird - 41Injektivität, Surjektivität, Bijektivität-Surjektiv: wenn f(x)=y mind. 1 Lösung hat für alle y e N (Bildmenge) "wenn jedes y mindestens 1 x hat"
-Injektiv: wenn f(x1)=f(x2)=>x1=x2 "wenn jedes y höchstens 1 x wert hat"
-Bijektivität wenn surjektivität und injektivität gilt und es gibt eine Umkehrabbildung - 42Abzählbarkeit Mengen-endlich, wenn für ein n e N gilt: phi:{1,...,n}->M bijektiv
-abzählbar, wenn N->M bijektiv
-sonst überabzählbar
-rationale Zahlen abzählbar, reele Zahlen überabzählbar - 43Beschränktheit, Konvergenz Folgen, Häufungspunkte-Beschränkt: Es gibt ein C >0 mit |(a)n|<=C für alle n e N (bleibt also immer in bestimmten Bereich)
-konvergenz : |an-a|=N, nicht Konvergente Teilfolge Divergent
-mögliche Grenzwerte von Teilfolgen heißen Häufungspunkte - 44Grenzwertsätze-Seien an und bn konvergente Folgen, dann gilt:
-lim |an|=|lim an|
-lim (an+bn)=lim an+ lim bn
-lim (l*an)=l*lim an
-lim(an*bn)=lim an*lim bn
-lim(an/bn)=lim(an)/lim(bn), wenn bn immer ungleich 0
-lim m-tewurzel(an)=m-tewurzel(lim(an)) - 45wichtige grenzwerte für n->unendlich-1/n=0
-a^n/n!=0
-((n+1)/n)^2=e
-n^p*q^n=0 für |q|<1 u. p e ganze Zahlen - 46Monotone Folgen-monoton wachsend: an<=an+1 für alle n e N
-streng monoton wachsend:an - 47Differenzierbarkeit-Funktion heißt diff.bar in x0, falls es einen Grenzwert gibt für lim (h->0) (f(x0+h)-f(x0))/h
- 48Tangentengleichung-f(x)=f(x0)+f´(x0)(x-x0)
- 49Quotientenregel(u/v)`=(u´*v-u*v´)/(v^2)
- 50Umkehrfunktion-Sei f [a,b]->R monoton streng monoton wachsend mit f´(x0) ungleich null und differenzierbar. Dann existiert die Umkerfunktion und besitzt die Ableitung (f^-1)´(y0)=1/(f´(x0)) mit f´(x0)=y0
- 51-wichtige Ableitungen-tan(x)->1/(cos(x)^2)
-arctan(x)->1/(1+x^2))
-arcsin(x)->1/(sqrt(1-x^2))
-arccos->-1/(sqrt(1-x^2))
-sinh(x)<->cosh(x) - 52Sätze Ableitungen-Hat eine Funktion ein lokales Minimum oder Maximum, so gilt notwendigerweise f´(x0)=0 (Umkehrung gilt nicht unbedingt)
-Satz von Rolle: gilt f(a)=f(b), so gibt es ein x0 mit f`(x0)=0 (wenn f diffbar)
-1Mittelwertsatz: es gibt ein (x0) mit f(x0)=(f(b)-f(a))/(b-a) - 53Taylorpolynom bestimmen-Bis zur verlangten Stufe ableiten
-Entwicklungspunkt in Formel einsetzen - 54Satz von Bolzano-WeierstraßJede beschränkte Reele Folge besitzt eine konvergente Teilfolge
- 55Häufungspunkte, liminf, limsup-x heißt Häufungspunkt, wenn eine Teilfolge exisitiert, die gegen x konvergiert;
-liminf: Häufungspunkt mit niedrigstem wert
-limsup:Häufungspunkt mit höchstem Wert - 56Cauchy-Folge-Jede Cauchy-Folge ist Konvergent
-Jede Konvergente Folge ist Cauchy-Folge - 57Quotientenkriterium-abs(an+1/an): wenn kleiner 1: konv.
wenn größer 1: div.
wenn gleich 1: keine Aussage mögl. - 58Wurzelkriterium-n-teWurzel(an): wenn kleiner 1 konv. (SOGAR Absolut)
wenn gr. 1 div
wenn gleich 1 keine Aussage mögl. - 59MajorantenkriteriumFinde konvergente Majorante, meist geometrische Reihe q^k, mit lim k gegen unendlich = 1/1-q, wenn abs(q)<1
- 60Divergenzkriterium (Minorantenkriterium)-Finde divrgente Minorante
- 61Absolute Konvergenz-Wenn auch reihe (abs(an)) konvergent
-Divergente minorante: Reihe konvergiert nicht absolut
-Konvergente Majorante: Reihe konvergiert absolut - 62Konvergenzradius-Zu jeder Potenzreihe gibt es eine Zahl r e (0, unendlich], den sogenannten Konvergenzradius der reihe, sodass reihe absolut konvergent
-r=1/(limsup(abs(ak))^(1/k)
-innerhalb des konvergenzradius sind potenzreihen beliebig oft diffbar - 63Konvergenzradius zweite möglichkeit-r=1/lim(ak)^(1/k)
-r=lim (abs(ak/ak+1))
-Gilt, falls die Grenzwerte existieren bzw. unendlich sind - 64Potenzreihen einiger funktionen-1/(1-x)=x^k
-e^x=x^k/k!
-sinx=(-1)^k*(x^(2k+1)/(2k+1)!)
-cosx=(-1)^k*(x^(2k)/((2k)!)
ln(x+1)=(-1)^k*(x^(k+1)/k+1))
arctanx=(-1)^k*(x^(2k+1)/(2k+1))
(1+x)^b=(b über k) *x^k
sinh=1/(2k+1)!*x^(2k+1)
cosh=1/(2k)!*x^(2k) - 65Funktionenfolgen Konvergenz-Punktweise Konvergent, wenn gilt: lim fn(x) mit n gegen unendlich=f(x)
-Gleichmäßig Konvergent: lim n gegen undendlich sup(fn(x)-f(X))=0
-Grenzfunktion muss stetig sein, sonst nicht gleichmäßig stetig - 66Stegige fortsetzbarkeit-Betrachte limes von links und von rechts in kritischem Punkt. Wenn gleich, dann fortsetzbar, wenn nicht dann nicht
- 67Stetigkeit kombinierter Funktionenwerden zwei stetige funktionen kombiniert, so wird die "Kombinationsfunktion" auch stetig
- 68Kriterien Riemanintegrierbar-Jede Funktion deren Unstetigkeitsstellen eine Nullmenge bilden, d.h., wenn sie abzählbar sind, so ist sie R-integrierbar
-Jede Monotone Funktion ist R-Integrierbar - 69Dimension Vektorraum-Anzahl der Elemente der Basis
- 70Dimensionsformeldim(Ker(A))+Rang A=n
- 71Kern Matrix-Vektor, der rauskommt, wenn Matrix 0 gesetzt wird. Nullvektor immer ein Kern
-Ist determinante d.Matrix ungleich 0, so hat matrix keinen kern, außer Nullvektor - 72Rang Matrix-Matrix auflösen und Zeilen zählen, in denen nicht nur nullen vorkommen
-Quadratisch: wenn Rang zeilen bzw. Spaltenzahl entspricht, hat man eine reguläre Matrix und sie ist invertierbar - 73-Erzeugendnensystem--Matrix d. Vektroen bilden und schauen ob voller rang, wenn ja dann erzeugendensystem
- 74Rechenregeln Matrix Transponiert-(A+B)t= At+ Bt
-(a*A)t=a*At
-(At)t=A
-(AB)t=Bt*At - 75Symmetrische und Schiefsymmetrische Matrix-Sym: A=At
-Schiefs. A=-At - 76Wichtige Sätze MatrixFolgende Aussagen sind Äquivalent:
-A ist regulär
-A hat vollen Rang
-Zeilenvektoren sind l.u.
-Ax=0 hat nur x=0 als lösung
-Ax=b ist eindeutig lösbar
-Spaltenvektoren sind l.u.
-Matrix besitzt eine Inverse
-Determinante ungleich 0
-Keinen Eigenwert gleich 0 - 77Invertierbarkeitist A (quADRATISCH) invertierbar, so ist auch At invertierbar
-Invertierbar, wenn det ungleich 0 - 78Basiswechsel-1.Bilde Basisvektoren von Urbildraum mit linearer Abbildung ab (ergibt Bildvektoren)
-2.Stelle Bildvektoren als Linearkombination der Basiselemnte von Bildraum dar
-3.Eintragen der Koeffizienten in Matrix - 79Determinanten-Ist Det ungleich 0: Zeilen und Spalten sind l.u.; Regulär, d.h inverse existent
-Bei Anwendung von Gaußalgorithmus bleibt det gleich
-Det A^-1=1/DetA - 80Ähnliche Matrizen-A und B heißen Ähnlich wenn gilt: B=S^-1*A*S
-Haben dasselbe char. polynom=> gleiche Eigenwerte, gleichen alg vfh, gleiche Spur, gleiche Determinante - 81Aus eigenwerte Spur und Det bestimmen-Spur=e1+e2+e3
-Det=e1*e2*23
(gilt nicht für Diagonalisierbaren Matrizen) - 82Diagonalisierbarkeit-Genau dann Diagonalisiebar, falls Basis aus Eigenvektoren
-genau dann Diagonalisierbar, wenn algebraische und geometrische Vielfachheit übreinstimmt - 83postitiv definit, hermitisch-Positiv definit, wenn: x^t*A*x>0
-Hermitisch=A=A konjugiert Komplex und T - 84Quadriken Formen-x^2+y^2+z^2-1=0: Ellipsoid
-x^2+y^2-z^2-1: Einschalige Hyperboloid
-x^2+y^2-z^2+1: Zweischalige Hyperboloid
-x^2+y^2-2z:Elliptische Paraboloid
-x^2-y^2-2z: hyperbolische Paraboloid - 85Divergenz, Laplace, Rotation-Divergenz: Ableitung*vektorfeld
-Laplace: zweite Ableitun*Vektorfeld
-Rotation: Ableitung X Vektorfeld - 86Tangentialebene-Taylorpolynom 1. Grades bestimmen
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- Höhere Mathematik 1 und 2 Flashcards on Höhere Mathematik 1 und 2 , created by Krajišnik u duši on 26/07/2018.
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- Krajišnik u duši
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