Flashcards
18.5 Potenzreihen und Summenfunktionen
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- 1Was ist eine Summenfunktion?Eine Funktion
f: \( K \to R \)
mit K als Konvergenzintervall und
f(x) = \( \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n x^n \) - 2Wann und Wo sind Summenfunktionen überall stetig?Wenn der Konvergenzradius > 0 ist, dann sind sie überall dort stetig, wo sie definiert sind.
Also im gesamten Konvergenzintervall. - 3Wo sind Summenfunktionen überall differenzierbar, wenn ja, wie oft?Dort wo sie definiert sind, also über dem ganzen Konvergenzintervall.
Wenn differenzierbar, dann unendlich oft. - 4Wie lautet die k-te Ableitung einer Summenfunktion?\( \sum\limits_{n=0}^{\infty} (n+k)(n+k-1) ...(n+1) * a_{n+k}*x^n \)
- 5Ergänze: Jede Potenzreihe ist die Taylorentwicklung ihrer ...?Summenfunktion im Entwicklungspunkt 0
- 6Was erhält man, wenn man in die allgemeine Formel zur Bestimmung der k-ten Ableitung einer Summenfunktion x=0 setzt?Die Formel für den k-ten Koeffizienten der Taylorreihe:
\(f^k(0)= (k(k-1)... 1a_k \) also:
\( \frac{f^{(k)} (0) } {k!}\) - 7Was ist eine Stammfunktion F einer Funktion f?Eine Funktion F deren Ableitung die Funktion f ist.
- 8Wodurch unterscheiden sich zwei verschiedene Stammfunktionen F und G einer Funktion f?Nur durch einen konstanten Faktor c.
- 9Wo besitzt eine Summenfunktion zu einer Potenzreihe eine Stammfunktion und wie lautet diese?Die Summenfunktion besitzt auf ihrem Konvergenzintervall K eine Stammfunktion. Diese lautet:
F(x) = \( \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1} x^{n+1} \) - 10Ist die Logarithmusreihe auch für |x| < 1konvergent gegen ln (1 + x)? Wie lautete nochmal ihre Formel?ja.
\( \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} \) - 11Was ist die Summe der beiden Binomialkoeffizienten: \( \binom{\alpha - 1}{ n } + \binom{\alpha - 1}{n-1} \)\( \binom{\alpha}{n} \)
- 12Ist die Binomialreihe \( (1+ x)^{\alpha} \) auch konvergent für |x| < 1? Wie war nochmal ihre Formel?ja ist sie, die Formel lautet:
\( \sum\limits_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n} x^n \)
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- Mathematik (Grundlagen KE 6) Flashcards on 18.5 Potenzreihen und Summenfunktionen, created by David Bratschke on 20/06/2017.
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