limites

LIMITES

¿QUE SON?

El límite de una función en un punto es obtener el valor al que se va aproximando esa función cuando "x" tiende a un determinado punto, pero sin llegar a ese punto.

TIPOS DE LÍMITES

DE UNA FUNCIÓN

UNILATERALES

INFINITOS

INDETERMINADOS

TRIGONOMÉTRICOS INDETERMINADOS

¿QUE SON?

¿QUE SON?

¿QUE SON ?

¿ QUE SON ?

¿ QUE SON ?

El límite de una función en un valor determinado de x es igual a un número al cual tiende la función cuando la variable tiende a dicho valor.

Hay casos en que las funciones no están definidas (en los reales) a la izquierda o a la derecha de un número determinado, por lo que el límite de la función cuando x tiende a dicho número, que supone un intervalo abierto que contiene al número, no tiene sentido

SE REPRESENTA

Es decir la función f tiene límite b cuando la (x) tiende a a.

PARA SU SOLUCIÓN SE USA LOS SIGUIENTES TEOREMAS.

SE DIVIDE EN DOS TIPOS

El límite lateral por la derecha de una función en un punto a es el límite de la función cuando se considera que la variable sólo puede tener valores mayores que el punto, se denota como

El límite lateral por la izquierda de una función en un punto a es el límite de la función cuando se considera que la variable sólo puede tener valores menores que el punto, se denota como

la función f(x) llega a valores que crecen continuamente, es decir que se puede hacer la función tan grande como queramos, se representa:

SE CLASIFICAN COMO

Límite = +∞ cuando x → a Para cualquier valor de la función f(a) existe un entorno pequeño alrededor de a en el que se cumple que f(x) > f(a).

Límite = -∞ cuando x → a Para cualquier valor de la función f(a) existe un entorno pequeño alrededor de a en el que se cumple que f(x) < f(a).

Límite = +∞ cuando x → +∞ Para cualquier valor de la función f(a) positivo, por muy grande que sea, (siendo a > 0), siempre encontraremos otro f(b) tal que si b > a entonces f(b) > f(a).

Límite = +∞ cuando x → -∞ Para cualquier valor de la función f(a) positivo, por muy grande que sea, (siendo a < 0), siempre encontraremos otro f(b) tal que si b < a entonces f(b) > f(a).

Límite = -∞ cuando x → +∞ Para cualquier valor de la función f(a) negativo, por muy grande que sea en su valor absoluto, (siendo a > 0), siempre encontraremos otro f(b) tal que si b > a entonces f(b) < f(a).

Límite = -∞ cuando x → +∞ Para cualquier valor de la función f(a) negativo, por muy grande que sea en su valor absoluto, (siendo a > 0), siempre encontraremos otro f(b) tal que si b > a entonces f(b) < f(a).

Estos límites no indican que este no exista, sino que no se puede anticipar el resultado, por lo tanto se tendrán que hacer operaciones adicionales para eliminar la indeterminación y averiguar entonces el valor del límite (en el caso de que exista);Ese valor puede ser un número finito, incluido el cero, o +∞ o -∞

TIPOS

La indeterminación ∞ / ∞: se puede resolver dividiendo el numerador y el denominador por el mayor grado de la variable.

La indeterminación ∞ – ∞: suelen ser del tipo f(x) – g(x), en donde la solución se puede determinar por uno de los dos términos es de orden mayor, el límite será ± ∞ (el signo lo determinará si el término de orden mayor es el minuendo o el sustraendo).

Los límites indeterminados cero partido por cero: se hace presente en Funciones racionales (CASO 1) se pueden resolver descomponiendo en factores y simplificando; O Con radicales ( CASO 2)Se podría resolver multiplicando y dividiendo numerador y denominador por el binomio conjugado del término en donde esté la raíz.

CASO 1

CASO 2

La indeterminación cero por infinito: son ocasionados por el producto de funciones y en este caso se da el uso de factorización para su solución o en otros casos es necesario el uso regla de L’Hôpital.

Las funciones trigonométricas son las funciones seno, coseno y tangente, denotadas por sin(x), cos(x) y tan(x) respectivamente; las cuales e pueden desarrollar aplicando límites notables o identidades trigonométricas

APLICACIONES

Ejemplo 1: Dentro de la ingeniería industrial se elaboran gráficas para saber el nivel de producción y para encontrar el menor costo posible esto para generar una mayor ganancia para la misma empresa, línea real o imaginaria que marca el fin de una superficie o cuerpo o la separación entre dos entidades

Ejemplo 2: Dentro de la ingeniería de sistemas permite encontrar el máximo de direcciones que puede gestionar un microprocesador para el diseño de memorias.

Ejemplo 3: Dentro de la ingeniería mecatrónica permite certificar el sistema de control para garantizar la estabilidad frente a las perturbaciones

Ejemplo 4: Dentro de la ingeniería química se usa principalmente para la creación de medicamentos en donde se realiza el proceso de reactivo en exceso y reactivo limitante llevando así que las medicinas no tengan efectos nocivos en la salud.

Ejemplo 5: Dentro de la ingeniería eléctrica permite establecer la carga de un capacitor o la corriente de un inductor.