Tema2. Funciones

Tema2. Funciones

1. En matemáticas, una función "f" es una relación entre un conjunto dado X (dominio) y otro conjunto de elementos Y (codominio) de forma que a cada elemento "x" del dominio le corresponde un único elemento del codominio f(x)

   • CODOMINIO O CONTRADOMINIO
     • Es el conjunto formado por los segundos elementos de la pareja ordenada. Generalmente, el codominio siempre son todos los reales.
   • DOMINIO
     • Es el conjunto formado por los primeros elementos de las parejas ordenadas. Valores permitidos por la variable "x". Se denota como Domf o bien Df y está definido por:
   • RANGO O IMAGEN
     • Es el conjunto formado por los segundos elementos de la pareja ordenada, después de aplicar la regla de correspondencia, es decir, la función propuesta.

2. Clasificación. Esta clasificación obedece a la forma en que están relacionados los elementos del dominio con los del codominio

   • INYECTIVA
     • Una función inyectiva o unívoca es cuando a cada elemento del conjunto B , le corresponde sólo un elemento del conjunto A sin importar que sobren elementos en el conjunto B.
   • SUPRAYECTIVA
     • Es cuando a cada elemento del conjunto B le corresponde una o más elementos del conjunto A. No deben sobrar elementos de B y no sobran elementos del conjunto A.
   • BIYECTIVA
     • Cuando una función es inyectiva y a la vez suprayectiva, entonces es biyectiva, es decir que a cada elemento de A le corresponde uno solo de B y no sobran elementos del conjunto B.

3. Tipos de funciones

   • Función constante
     • Es una función en que siempre toma el valor k , que es una constante:
       • f (x) = k
     • Su dominio son todos los números reales.
   • Funciones algebraicas
     • Funciones polinómicas
       • Son funciones de la forma:
         • donde n a ,a ,a , ,a 0 1 2 ⋅⋅⋅ son números reales y los exponentes son números naturales. El dominio de todas las funciones polinómicas son todos los números reales.
       • Incluyen:
         • Funciones lineales
           • Son funciones polinómicas de la forma:
             • f (x) = mx + b
           • La representación gráfica de una función lineal es una recta donde m representa la pendiente (grado de inclinación) y b representa la ordenada al origen (cruce de la recta en el eje y ). Por ser también una función polinómica, su dominio son todos los números reales.
         • Funciones Cuadrática
           • Son funciones polinómicas de la forma:
             • f (x) = ax^2 + bx + c
           • donde a , b y c son constantes y a es diferente de cero. La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola que se abre hacia arriba si a > 0 o que se abre hacia abajo si a < 0. Al ser función polinómica, su dominio son todos los números reales.
     • Son las funciones que se obtienen cuando se efectúan un número finito de sumas, restas y productos con las funciones constante e identidad. Su dominio son todos los números reales.
   • Función identidad
     • Es una función donde la variable dependiente toma el mismo valor que tiene la variable independiente:
       • f (x) = x
     • Su dominio son todos los números reales.
   • Funciones periódicas
     • Una función es periódica si cumple que:
       • f (x) = f (x + p)
     • donde p es un número real diferente de cero, llamado periodo.
   • Funciones par e impar
     • Una función par es aquella que cumple con:
       • f (x) = f (− x)
     • Una función impar es aquella que cumple con:
       • f (− x) = − f (x)
   • Funciones irracionales
     • Son aquellas funciones algebraicas y/o racionales en que interviene la operación de radicación. A fin de que este tipo de funciones existan, el dominio depende de la naturaleza de las raíces y, en su caso, de los ceros del denominador.
   • Funciones racionales
     • Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas. Esto es, q es una función racional si para todo x en el dominio, dados los polinomios f (x) y g(x), se tiene:
       • q(x)=f(x)/g(x)
     • El dominio de una función racional consiste de todos los números reales excepto los ceros (o raíces) del polinomio en el denominador, ya que la división por cero no está definida.

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