Funciones

Funciones

1. DEFINICIÓN 1: Función

   • Dados A y B dos conjuntos, f es una función de A en B si: • f ⊆ A × B; • para todo x ∈ A, existe y ∈ B tal que (x, y) ∈ f ; y • si (x, y) ∈ f y (x, z) ∈ f , entonces y = z. Si f es una función de A en B, escribirá f : A → B. Y, en lugar de (x, y) ∈ f , escribiremos f(x) = y, ya que dado x, y es único.

2. DEFINICIÓN 2: Dominio

   • Dada f : A → B el conjunto A se llama dominio de f y se le representa por dom(f).

3. DEFINICIÓN 3: Imagen o recorrido

   • Dada una función f : A → B, la imagen o el recorrido de f es el conjunto { f(x) : x ∈ A}, que se lo representa por img(f) o rec(f).

4. DEFINICIÓN 4: Igualdad de funciones

   • Sean f : A → B y g : C → D, se dice que f = g, si se cumple que: • A = C, 1 • f(x) = g(x).

5. DEFINICIÓN 5: Función identidad

   • Sea f una función de la forma f : A −→ A x 7−→ x, se dice que es la función identidad.

6. DEFINICIÓN 6: Función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva

   • Una función f : A → B es: • inyectiva si para todo u, v ∈ A tales que f(u) = f(v), se tiene que u = v; • sobreyectiva si para todo v ∈ B, existe u ∈ A tal que f(u) = v; • biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.

7. DEFINICIÓN 7: Composición de funciones

   • Dadas las funciones f : A → B y g : B → C, la función g ◦ f : A −→ C x 7−→ g(f(x)) se denomina composición de g y f . Dominio de la función compuesta el dominio de la función compuesta es Dom(g ◦ f) = {x ∈ Dom(f) : f(x) ∈ Dom(g)}.

8. DEFINICIÓN 8: Función inversa

   • Si tenemos que la f : A → B es una función biyectiva y la g : B → A, que devuelve los elementos de B a sus originales en A, se dice que g es la función inversa de f , que se denota por f −1 .
     • . Esto significa que f −1 (y) = x ⇐⇒ f(x) = y. La f −1 es la única función que compuesta con f por la izquierda o por la derecha nos da como resultado la función identidad f −1 ◦ f = x = f ◦ f −1 .
     • Calculo de la inversa Para calcular la función inversa, seguimos los siguientes pasos: • Escribimos f −1 donde su dominio es el recorrido de f y su recorrido es el dominio de f . • Para calcular la ley de asignación, escribimos y = f(x). • Despejamos x en función de y, en caso de ser posible. • Intercambiamos las variables x e y.

9. DEFINICIÓN 9: Función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva

   • Una función f : A → B es: • inyectiva si para todo u, v ∈ A tales que f(u) = f(v), se tiene que u = v; • sobreyectiva si para todo v ∈ B, existe u ∈ A tal que f(u) = v; • biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.

10. DEFINICIÓN 10: Función creciente, decreciente y monótona

    • Dada la función f : A → R con A ⊆ R y el conjunto I ⊆ A, f es:
    • Creciente en I si para todo u, v ∈ I tales que u ≤ v, se tiene que f(u) ≤ f(v);
    • Estrictamente creciente en I si para todo u, v ∈ I tales que u < v, se tiene que f(u) < f(v);
    • Decreciente en I si para todo u, v ∈ I tales que u ≤ v, se tiene que f(u) ≥ f(v);
    • estrictamente decreciente en I si para todo u, v ∈ I tales que u < v, se tiene que f(u) > f(v); y
    • Monótona en I si es creciente o decreciente en I.