Mapa mental

Mapa mental

1. FUNCIONES

   • ¿Qué es una función?
     • Una función es una relación entre dos variantes (x e y) que asocia a cada valor de x un único valor de y. Dominio y rango o imagen.  El rango o imagen de una función es el conjunto de números que puede generar la función. Dicho de otra manera, es el conjunto de valores de Y que obtienes cuando evalúas en la función todos los valores de X posibles. Este conjunto de los valores de X posibles se llama dominio.
     • Formas de expresar una función
       • Con una tabla de valores
       • Expresión algebraica
       • Con una gráfica
       • Descripción verbal
   • ¿Cómo calcular los dominios?
     • Dependiendo de los tipos de funciones podremos calcular los dominios de diferente manera.
     • Funciones dadas mediante una expresión algebraica
       • Funciones polinómicas
         • En este tipo de funciones, el dominio siempre va a ser R. Ej: f(x) = 2x3-5x+4 Dom (f)= R
       • Funciones racionales
         • En las funciones racionales, para sacar el dominio debemos realizar lo siguiente: Igualaremos el denominador a 0 , realizamos la ecuación y el dominio de la función será R- las soluciones de la ecuación. Ej: f(x)= 2x-1/x2+3x x2+3x=0 x(x+3)=0 x=0 y x=-3 Dom (f)= R - [ 0, -3]
       • Funciones logarítmicas
         • Para obtener el dominio de las funciones logarítmicas debemos hacer lo siguiente: Están definidas cuando f(x)= log[g(x)], por lo que, ponemos lo que vaya detrás de log mayor que 0, realizamos la ecuación y las soluciones de esta las marcamos en una recta. Después, damos valores a los lados de las soluciones y pones si es positivo o negativo y de ahí cogeremos nuestra dominio. Ej: f(x)= log(x2-9) x2-9>0  x2=9 x=+-√9 x=3 y x=-3 El dominio de esta función será: Dom (f)= (-∞, -3) U (3,∞)
       • Funciones irracionales del tipo
         • En funciones irracionales [ f(x) raíz n, siendo n siempre par, de g(x)] Función definida cuando g(x)≥0 Ej: f(x)= √x2-4  x2-4≥0 x2-4=0 x2=4 x=2 y x=-2 Dibujamos una recta y marcamos las soluciones en ella. Después, damos valores a los lados de la soluciones y marcamos si es positivo o negativo. Por último, nos fijamos en los símbolos de la ecuación y dependiendo de lo que pida (≥ o ≤ ) marcaremos en la recta la parte positiva o la negativa. En el caso de la función anterior, el dominio sera: Dom (f)= (-∞ , -2] U [2,∞)
   • Composición de funciones
     • x -> f(x) -> g(f(x))= g o f (x)
     • Propiedades
       • La composición no es conmutativa
         • (f o g es desigual a g o f ) Ej:  f(x)= x2, g(x)= x+1 g o f(3)= g(f(3))= g(9)= 10 f o g(3)= f(g(3))= f(4)= 16
       • La composición es asociativa
         • f o (g o h) = (f o g)
   • Funciones elementales
     • Funciones polinómicas de grado 0 y 1
       • Son rectas Grado 0= f(x)= k siendo esta un número real. Función constante y=k Su gráfica es una recta paralela al eje OX Grado 1= f(x)= mx +n Su representación gráfica: y= mx+n. Ej: y=2x+3 -> m= 2 pendiente m>0 -> Recta creciente y si m<0 decreciente. La función afín si m distinto de 0 y n=0. Función lineal y pasa por (0,0)
     • Funciones de proporcionalidad inversa
       • Son funciones y=k/x siendo k distinto de 0. Tienen asíntota vertical (y = 0 (eje x)) y asíntota vertical (x=0 (eje y)) Si k>0 se encontrará en el 1er y 3er cuadrante( decreciente) y si k<0 se encontrara en el 2do y 4to cuadrante (creciente)
     • Funciones raíz
       • Son de la forma y= √kx (k desigual a 0) Dom (f)= [0, ∞)
     • Funciones exponenciales
       • Son de la forma f(x)= a elevado a x. a>0 y a distinto de 1 Dom (f)= R Toman valores siempre positivos y tienen asíntota horizontal. Si a>1 son crecientes y si a<1 son decrecientes  Eje x es asíntota horizontal y todas pasan por (0,1)
     • Funciones cuadráticas
       • Son parábolas Si a>0 la parábola tendrá las ramas hacia arriba. Si a Eje de parábola es una recta paralela a OY x= -b/2a, que también lo utilizaremos para el vértice de esta.
     • Funciones logarítmicas
       • f(x) = log a X con a>0 y a distinto de 1 Esta es la inversa de la exponencial.
       • Propiedades
         • f (x)= log ax Dom(f)= (0, ∞) Si a>1 creciente y si 0 Todas pasan por el 0,1 y el eje OY es asíntota vertical
     • Funciones trigonométricas o circulares
       • f(x)= senx pasa por (0,0) f(x)= cosx pasa por (0,1) f(x)= tgx asíntotas verticales x= 180/2, x=3x180/2 Se expresan en radianes
   • Función inversa
     • Función identidad: Id(x)=x Su gráfica es la bisectriz del 1er y 3er cuadrante (y=x) Se dice que g es la inversa de f. Se pone g= f-1 o f=g-1. También se llama función recíproca. Si f tiene una inversa se verifica que (f-1)-1= f Id-1= Id f o f-1(x)= Id(x) y f-1 o f(x)= Id(x)
     • Propiedades
       • Bisectriz del 1er y 3er cuadrante
         • La gráfica de una función y la de su inversa son simétricas respecto de la recta y=x
       • Condición necesaria para que una función tenga inversa
         • Para que una función tenga inversa no puede haber dos valores de x que tengan la misma imagen (y)
   • Funciones divididas a trozos
     • Se divide el plano en zonas correspondientes a cada intervalo y se representa la función correspondiente
     • Caso especial
       • Función de valor absoluto. Se dibuja igual que las demás funciones, pero lo único que hay que tener en cuenta es que al ser de valor absoluto cuando dibujemos la función, la parte que queda negativa la tendremos que poner en positivo y este tramo cuando demos la solución irá con los símbolos contrarios al enunciado.

Imágenes y archivos del mapa