Determinantes

Determinantes

1. Definição

   • O determinante é uma função que toma uma matriz quadrada A e retorna com um número.

2. Como calcular o determinante de 1ª ordem?

3. Como calcular o determinante de 2ª ordem?

4. Como calcular o determinante de 3ª ordem?

   • • Regra de Sarrus

5. Como calcular o determinante de 4ª ordem?

   • Teorema de Laplace
     • Escolher qualquer linha ou coluna da matriz e somar os elementos da fila com seus respectivos cofatores. Dica:se puder, escolha a fila com maior número de zeros.
       • • Para calcular o D12 e o D32, devemos eliminar suas respectivas colunas e linhas e, com os números restantes, aplicar a Regra de Sarrus.
   • Regra de Chió
     • Escolher um elemento aij = 1 e selecionar toda sua linha e coluna, suprimindo-a. Depois, formar uma matriz apenas com os elementos restantes e subtrair de cada um desses elementos o produto dos elementos correspondentes que foram suprimidos. Com a nova matriz formada, aplicar a regra de Sarrus,para assim encontrar a determinante desta. Por fim, multiplicar o determinante obtido por (-1) elevado a i + j, onde estes designam onde o aij=1 utilizado no início se encontra.
   • Teorema de Jacobi
     • O Teorema de Jacobi informa que, se a uma determina fila somarmos uma combinação linear das demais filas, então o determinante não se altera.

6. Propriedades

   • 1ª propriedade: Ao observar uma matriz e verificar que os elementos de uma linha ou uma coluna são iguais a zero, o valor do seu determinante também será zero.
   • 2ª propriedade: Caso ocorra igualdade de elementos entre duas linhas ou duas colunas, o determinante dessa matriz será nulo.
   • 3ª propriedade Verificadas em uma matriz duas linhas ou duas colunas com elementos de valores proporcionais, o determinante terá valor igual à zero. Observe a propriedade entre a 1ª e a 2ª linha.
   • 4ª propriedade: Ao multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz por um número K, o seu determinante fica multiplicado por K. Os elementos da 1ª linha de P foram multiplicados por 2, então: det P’ = 2 * det P
   • 5ª propriedade: Caso uma matriz quadrada A seja multiplicada por um número real k, seu determinante passa a ser multiplicado por kn. det (k*A) = kn * det A.
   • 6ª propriedade: O valor do determinante de uma matriz R é igual ao determinante da matriz da transposta de R, det R = det (Rt).
   • 7ª propriedade: Ao trocarmos duas linhas ou duas colunas de posição de uma matriz, o valor do seu determinante passa a ser oposto ao determinante da anterior.
   • 8ª propriedade: O determinante de uma matriz triangular é igual à multiplicação dos elementos da diagonal principal. Lembre-se que em uma matriz triangular, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero.
   • 9ª propriedade: Considerando duas matrizes quadradas de ordem iguais e AB matriz produto, temos que: det (AB) = (det A) * (det B), conforme teorema de Binet.
   • 10ª propriedade: Ao multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou de uma coluna pelo mesmo número e adicionarmos os resultados aos elementos correspondentes de outra linha ou coluna, formamos a matriz B, onde ocorre a seguinte igualdade: det A = det B. Esse teorema é atribuído a Jacobi.

7. Matriz de Vandermonde

   • • Trabalho por Caroline Namorato, Maria Luiza Batista, João Victor Lima e Rafael Sá

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