Unidad ll: Funciones

Unidad ll: Funciones

1. Operaciones con funciones: adición, multiplicación, composición.

   • Las funciones se pueden utilizar de la misma manera que los números: sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar a una potencia, sacar raíz o se puede hacer combinaciones.
   • Dos funciones se combinan para producir un resultado. Por ejemplo: f actua sobre “x” para producir f(x) y luego g actua sobre f(x) o tambien llamada funcion composicion que se representa g(f(x))

2. Funciones Escalonadas

   • La función escalonada y = s(x) es una función definida a trozos o por partes, tal que en un intervalo finito [a,b] tiene un número finito de discontinuidades, a las cuales llamaremos x0 < x1 < x2 <…. xn. En cada intervalo abierto (xi , xi+1), y tiene un valor constante de valor si, con discontinuidades -saltos- en los puntos xi.
     • Ejemplo
     • Características
       • La función recibe su nombre por la gráfica en forma de escalones, dados por los segmentos que la componen. Cada segmento tiene una parte del dominio de la función y en cada uno, la función es constante.
       • El dominio de una función escalonada son los valores que pertenecen al intervalo para el cual se la define: [a,b], mientras que el rango lo constituyen los valores si de las alturas de los escalones.

3. funciones trascendentes

   • Exponenciales
     • Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente x.
   • Logarítmicas
     • La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.
   • Trigonométricas
     • La funciones trigonométricas asocian a cada número real, x, el valor de la razón trigonométrica del ángulo cuya medida en radianes es x.
       • Función Cotangente
         • f(x) = cotg x
       • Función Secante
         • f(x) = sec x
       • Función Coseno
         • f(x) = cosen x
       • Función Tangente
         • f(x) = tg x
       • Función seno
         • f(x) = sen x
       • Función Cosecante
         • f(x) = cosec x

4. Funciones Algebraicas

   • Polinomiales
     • En matemáticas, una función polinómica es una función asociada a un polinomio con coeficientes en un anillo conmutativo (a menudo un cuerpo). Formalmente, es una función:
       • donde P(x), es un polinomio definido para todo número real x; es decir, una suma finita de potencias de x, multiplicados por coeficientes reales, de la forma:
   • Racionales
     • En matemáticas, una función racional de una variable es una función que puede ser expresada de la forma:
       • donde P y Q son polinomios y x una variable, siendo Q distinto del polinomio nulo. Las funciones racionales están definidas o tienen su dominio de definición en todos los valores de x que no anulen el denominador. Obviamente esta definición puede extenderse a un número finito pero arbitrario de variables, usando polinomios de varias variables. La palabra "racional" hace referencia a que la función racional es una razón o cociente (de dos polinomios); los coeficientes de los polinomios pueden ser números racionales o no.

5. Tipo de Función

   • Biyectiva
     • Una función es biyectiva, cuando es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo. Formalmente: ∀y∈Codf ∃!x∈Domf / f(x)=y
   • Suprayectiva
     • Una función es sobreyectiva, también llamada suprayectiva o exhaustiva, cuando el codominio y el recorrido coinciden. Formalmente: ∀y∈Codf ∃x∈Domf / f(x)=y
   • Inyectiva
     • Una función es inyectiva cuando no hay dos elementos del dominio que tengan la misma imagen. Formalmente: ∀a,b∈Domf , si f(a)= f(b)⇒a=b

6. Función real de la variable real

   • omo aquella función matemática que hace corresponder a cada número real x∈R otro número real y∈R a través de una regla de transformación f(x). Formalmente: f:Domfx→↦Ry=f(x)

7. Función Implícita

   • Se denomina función implícita a aquella función dada mediante una expresión en la que la variable dependiente y no aparece despejada. Dicho de otra manera, aquella función que se expresa mediante una igualdad en la forma: f(x,y)=0
     • Por ejemplo, la igualdad x2−y=0, correspondiente a y=x2, es una función implícita. También y3−5x2+3xy2+12=0.

8. Función Inversa

   • Se llama función inversa o reciproca de f(x) a otra función f^{-1}(x) que cumple que: Si f(a)=b , entonces f^{-1}(b)=a
   • Veamos un ejemplo a partir de la función f(x)=x+4

9. Función Explicita

   • Una función es explícita si viene dada como y = f(x) , es decir, la variable dependiente y está despejada. Una función es implícita si viene dada de la forma f(x, y) = 0 , es decir, si la función se expone como una expresión algebraica igualada a 0.
     • Ejemplo
       • La función y = 7x - 3 está expresada en forma explícita y la podemos transformar en implícita haciendo las transformaciones algebraicas adecuadas.

10. Definición de:

    • Rango
      • El Rango es el intervalo entre el valor máximo y el valor mínimo; por ello, comparte unidades con los datos. Permite obtener una idea de la dispersión de los datos, cuanto mayor es el rango, aún más dispersos están los datos.
    • Función
      • En matemática, se dice que una magnitud es función de otra si el valor de la primera depende del valor de la segunda. Por ejemplo el área A de un círculo es función de su radio r.
    • Dominio
      • En matemáticas, el dominio de una función es el conjunto de existencia de ella misma, es decir, los valores para los cuales la función está definida.
    • Variable
      • En matemáticas y en lógica, una variable es un símbolo constituyente de un predicado, fórmula, algoritmo o de una proposición.

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