Cálculo 1

Cálculo 1

1. Continuidad

   • Una función f es continua en un número a si cumple estas tres condiciones: f(a) esta definido, si el lim f(x) cuando x tiende a a existe y si el lim es igual a la función evaluada en a
     • Si alguna condición no se cumple, la función presenta discontinuidad en a
       • Ej: función parte entera; Y=[x], ya que es discontinua en todos los enteros, presenta infinitos saltos por lo tanto los lim en los enteros no existe.
       • Tipos de discontinuidades
         • D. a salto infinito, si x=a es una asíntota vertical para la gráfica Y=f(x).
         • D. a salto finito, cuando los lim laterales son distintos
         • D. evitable, cuando no se cumple la primer o la tercer condición, o la imagen no existe o el lim no es igual a la misma.
   • Continuidad sobre un intérvalo
     • Una función f es continua en un intérvalo abierto (a;b)si es continua en todo número del intervalo
     • Y f es continua sobre un intervalo cerrado [a;b] si es continua en (a;b)y además los límies laterales que componen el intérvalo son igual a su función evaluada
   • Resoluciones
     • 1)CONTINUIDAD DE UNA SUMA, UN PRODUCTO Y UN COCIENTE: si las funciones f y g son continuas en un número a, entonces la suma, el producto y el cociente son continuos en x=a, tener en cuenta que en el cociente g(a) debe ser distinto de 0
     • 2)CONTINUIDAD DE UNA CONSTANTE UNA DIFERENCIA Y DE UNA POTENCIA: si c es es una constante y f es continua en x=a, entonces cf es continua en x=a, f-g también resulta continua, y si f es continua en x=a y r es un n° natural entonces f a la r es continua en x=a
       • 3)CONTINUIAD DE POLINOMIOS Y FUNCIONES RACIONALES: cualquier polinomio es continuo sobre todos los R, y cualquier función racional es continua en todo su dominio.
     • 4) FUNCIÓN SENO COS Y TANGENTE: sen x es continua en todo su dominio, osea todos los R, al igual que cos x, y la tangente que es igual al sen sobre el cos, va a ser continua en todos los reales que no me hagan 0 al cos.
       • 5)CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN INVERSA: si f es una función continua biyectiva sobre un intervalo [a;b], entonces la funcion inversa es continua
         • 6)Las siguientes funciones son continas en todo n° en sus dominios, polinomios, racionales, funciones raíz, trigonométricas, trigonométricas inversas, exponenciales y logarítmicas.
           • 7) LIM DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA: si lim de g(x) es = L y f es continua en L, entonces f del lim de g de x es igual a la función evaluada en el lim de g.
             • 8) CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA: si g es continua en a y f es continua en g(a) entonces la función compuesta f(g(x))es continua en a.
               • 9)TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO: si f denota una función continua sobre un intérvalo cerrado [a;b] para el cual f(a) es distinto a f(b), y si N es cualquier n° entre f(a) y f(b), entonces existe por lo menos un n° c entre a y b tal que f(c)=N. Es esencial la continuidad de f en el intérvalo.
                 • 10) TEOREMA DE BOLZANO: si f es continua en el intervalo cerrado [a;b], si toma valores de signo opuesto en los extremos f(a) y f(b), entonces existe al menos una raíz de f en (a;b), es decir, existe un punto c del intervalo (a;b) en el que f(c) =0
                 • MÉTODO DE BISECCIÓN.?