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ESPACIOS VECTORIALES

F : A --> B (una Funcion del conjunto A en el conjunto B)

Ejemplo:

multiplicacion

F : N x N -->

(1,2) -->2 (2,1) --> 2

(4,7) -->28

F (a,b) = F(b,a)

suma

G : N x N --> N

(1,2) --> 3 G(1,2) = 3

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Sea V un conjunto no vacio y consideremos un cuerpo K (K = R o C)

supongamos que tenemos dos funciones:

+ : V x V --> V ( (v,w) --> z , v + w = z) V = {a, *, △}

(a,*) ==> △ (a,△) ==> * (Hay 9 e estas operaciones

* : K x V --> V ( (α,v) --> w, α . v = w)

Def : Decimos que (K, V, +, •) es un espacio vectorial (e.v)

Si: 1- v + w = w + v ∀ v, w ∈ V

2- v + (w + u) = (v + w) +u ∀ v, w, u ∈ V

3- Existencia del Neutro:

∃ 0 ∈ V / 0 + v = v ∀ v

(V = R, K = R)

(+ : u + v = u . v)

(1 + 2 = 3, 2 + 1 = 3)

(El Neutro Es Unico: O1 y O2 neutros )

( O1 + O2 = O2= O1 )

4- Existencia del opuesto:

(∀ v ∈ V, ∃ v' / v + v' = 0)

(V = R, K = R)

(u + v = u . v)

0 = 1, u = 5 5 + v = 1, 5 . v = 1, v = 1/5

(Dado v, ∃ un unico v' / v + v' = 0)

(dem : supongamos que v + v' = 0 y v + v'' = 0 (quiero probar que v' es v''))

(v + v') + v'' = v'' + (v + v') = (v'' + v) + v'

↓ ↓

0)--> v'' 0)--> v'

Def : a este v' lo llamamos el opuesto de v (Op v)

5- α . (β . v) = ( α . β) . v ∀ α, β ∈ K, ∀ v ∈ V

6- α . (u + v) = α . u + α . v α ∈ K ; u, v ∈ V

7- ( α + β) . u = α .u + β . u α, β ∈ K ; u ∈ v

8- 1 . v = v ∀ v ∈ V

Ejemplo

1) K = R, V = R^2

+ : (a,b) + (c,d) = (a + c, b + d)

• : α . (a,b) = (α . a, α . b)

Probar que = (R, R^2, +, •) es un E.V(Espacio Vectorial)