Coordenadas

Coordenadas cartesianas.

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• Pie de imagen: BY: FREDY CONTRERAS

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• Las coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares (sistema cartesiano) son un tipo de coordenadas ortogonales usadas en espacios euclídeos, para la representación gráfica de una relación matemática (funciones matemáticas y ecuaciones de geometría analítica), o del movimiento o posición en física, caracterizadas por tener como referencia ejes ortogonales entre sí que concurren en el punto origen. En las coordenadas cartesianas se determinan las coordenadas al origen como la longitud de cada una de las proyecciones ortogonales de un punto dado sobre cada uno de los ejes. La denominación de 'cartesiano' se introdujo en honor de René Descartes, quien las utilizó por primera vez de manera formal.

Sistema bidimensional.

• que se denomina plano cartesiano. El punto de intersección de las rectas, por definición, considera como el punto cero de las rectas y se conoce como origen de coordenadas. Al eje horizontal o de las abscisas se le asigna los números reales de las equis ("x"); y al eje vertical o de las ordenadas se le asignan los números reales de las yes ("y"). Al cortarse las dos rectas, dividen al plano en cuatro regiones o zonas, que se conocen con el nombre de cuadrantes:
• Primer cuadrante "I": Región superior derecha
• Segundo cuadrante "II": Región superior izquierda
• Tercer cuadrante "III": Región inferior izquierda
• Cuarto cuadrante "IV": Región inferior derecha
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Historia.

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• Se denominan coordenadas cartesianas en honor a René Descartes (1596-1650), el célebre filósofo y matemático francés que quiso fundamentar su pensamiento filosófico en el método de tomar un «punto de partida» evidente sobre el que edificaría todo el conocimiento.
• Como creador de la geometría analítica, Descartes también comenzó tomando un «punto de partida» en esta disciplina, el sistema de referencia cartesiano, para poder representar la geometría plana, que usa solo dos rectas perpendiculares entre sí que se cortan en un punto denominado «origen de coordenadas».

Plano Cartesiano.

• Con un sistema de referencia conformado por dos rectas perpendiculares que se cortan en el origen , cada punto del plano puede "nombrarse" mediante dos números: (x, y), que son las coordenadas del punto, llamadas abscisa y ordenada, respectivamente, que son las distancias ortogonales de dicho punto respecto a los ejes cartesianos.

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• Sobre cada uno de los ejes se definen vectores unitarios (i y j) como aquellos paralelos a los ejes y de módulo (longitud) la unidad. En forma vectorial, la posición del punto A se define respecto del origen con las componentes del vector OA.
• {\displaystyle {\overline {OA}}=x_{A}\,\mathbf {i} +y_{A}\,\mathbf {j} }La posición del punto A será:
• {\displaystyle A=(x_{A},\,y_{A})}
• Nótese que la lista de coordenadas puede expresar tanto la posición de un punto como las componentes de un vector en notación matricial.La distancia entre dos puntos cualesquiera vendrá dada por la expresión:
• {\displaystyle d_{\overline {AB}}={\sqrt {(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}}\,}Aplicación del teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo ABC.
• Un vector cualquiera AB se definirá restando, coordenada a coordenada, las del punto de origen de las del punto de destino:
• {\displaystyle {\overline {AB}}=(x_{B}-x_{A})\,\mathbf {i} +(y_{B}-y_{A})\,\mathbf {j} }Evidentemente, el módulo del vector AB será la distancia dAB entre los puntos A y B antes calculada.

Espacio euclídeo

• Si tenemos un sistema de referencia formado por tres rectas perpendiculares entre sí (X, Y, Z), que se cortan en el origen (0, 0, 0), cada punto del espacio puede nombrarse mediante tres números: (x, y, z), denominados coordenadas del punto, que son las distancias ortogonales a los tres planos principales: los que contienen las parejas de ejes YZ, XZ e YX, respectivamente.
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• Los planos de referencia XY (z = 0); XZ (y = 0); e YZ (x = 0) dividen el espacio en ocho cuadrantes en los que, como en el caso anterior, los signos de las coordenadas pueden ser positivos o negativos.
• La generalización de las relaciones anteriores al caso espacial es inmediata considerando que ahora es necesaria una tercera coordenada (z) para definir la posición del punto.
• {\displaystyle {\overline {OA}}=x_{A}\,\mathbf {i} +y_{A}\,\mathbf {j} +z_{A}\,\mathbf {k} }
• Las coordenadas del punto A serán:
• {\displaystyle A=(x_{A},\,y_{A},\,z_{A})}
• y el B:
• {\displaystyle B=(x_{B},\,y_{B},\,z_{B})}
• La distancia entre los puntos A y B será:
• {\displaystyle d_{\overline {AB}}={\sqrt {(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}+(z_{B}-z_{A})^{2}}}\,}
• El segmento AB será:
• {\displaystyle {\overline {AB}}=(x_{B}-x_{A})\,\mathbf {i} +(y_{B}-y_{A})\,\mathbf {j} +(z_{B}-z_{A})\,\mathbf {k} }

Cálculo matricial

• Siendo [T] la matriz de transformación y cuyas filas son igualmente las componentes de los vectores unitarios i ' y j ' respecto de los originales i y j, o si se prefiere, cuyas columnas son las componentes de los vectores unitarios originales en el sistema de referencia rotado.
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• Pie de imagen: Nota: Las magnitudes vectoriales están en negrita.

Gracias por su atención.