MATEMATICA

FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS

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• Pie de imagen: ALUMNA: JESSICA TRUJILLO

DERIVADA COMO RAZON DE CAMBIO

• Imagina que vas caminando por un sendero que sube y baja. En cada punto del camino, quieres saber qué tan inclinado está el piso justo donde tienes puestos los pies. Esa inclinación instantánea, en ese punto exacto, es lo que llamamos derivada.
• La derivada responde a la pregunta: si me muevo un poquitito hacia adelante, ¿Cuánto sube o baja la función?
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TABLA DE DERIVADA

• Lo que nos dice la derivada sobre el comportamiento
• Si la derivada es positiva (la recta tangente sube hacia la derecha), la función está creciendo en ese punto: un pequeño paso adelante te lleva más arriba.
• Si la derivada es negativa (la recta tangente baja hacia la derecha), la función está decreciendo: avanzar un poco te lleva más abajo.
• Si la derivada es cero, estás en un punto donde la función deja de subir o de bajar: una cima, un fondo o un punto de inflexión (como un pequeño rellano).
• Derivada como "sensibilidad"
• También puedes entender la derivada como una medida de qué tan sensible es una variable respecto a otra. Por ejemplo: si subes un poco el precio de un producto, ¿cuánto cambia la cantidad vendida? Esa relación de cambio instantánea es una derivada. Si la derivada es muy negativa, significa que el producto es muy sensible al precio: un pequeño aumento hace que las ventas se desplomen. Si la derivada es casi cero, al cliente no le importa si sube un poco el precio.
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• Pie de imagen: AQUI VEMOS LA DERIVADA EN UN PUNTO ALTO

TABLA DE DERIVADA

• La tabla recoge las funciones más comunes que aparecen en matemáticas, física e ingeniería:
• Funciones potencias: como "equis al cubo" o "equis a la cuarta". La tabla te dice que para cualquier potencia, la derivada se obtiene bajando el exponente multiplicando y luego reduciendo el exponente en uno.
• Funciones exponenciales: como "e elevado a la equis". La tabla te dice que la derivada de esa función es ella misma (una propiedad muy especial).
• Funciones logarítmicas: como "logaritmo natural de equis". Su derivada es "uno sobre equis".
• Funciones trigonométricas: seno, coseno, tangente. La tabla te dice que la derivada del seno es coseno, la del coseno es menos seno, la de la tangente es secante al cuadrado.
• Funciones trigonométricas inversas: arcoseno, arcocoseno, arcotangente. También tienen sus derivadas particulares.
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ejemplo: la distancia que cae una piedra

• ¿Para qué sirve tener esta tabla?
• La tabla sirve para derivar de manera rápida sin tener que recurrir cada vez a la definición original. Cuando tienes una función complicada que combina varios tipos (por ejemplo, una potencia dentro de un seno), usas la tabla para saber la derivada de cada pieza básica, y luego aplicas reglas como la de la cadena (que no está en la tabla, sino que es otra herramienta que se usa junto con la tabla).
• En la práctica, los estudiantes de cálculo memorizan la tabla de derivadas como quien memoriza las tablas de multiplicar. Con el tiempo, se vuelve automático: ves "seno" y tu mente responde "coseno", ves "equis al cubo" y responde "tres equis al cuadrado".

¿Cómo se calcula la derivada?

resolvemos un problema:

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• LA EMPRESA SAS GENERA UN INGRESO MENSUAL, DADO POR LA SIGUIENTE ECUACIÓN. EN ESTE PRESENTE AÑO, EL PRECIO DE CIERRE FUE DE $500, AVERIGUAREMOS CUÁNTO INGRESO GENERÓ EN LOS AÑOS ANTERIORES, Y POSTERIORES AL PRESENTE AÑO.

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• Aquí aplicamos la regla de la cadena (que es la que más falta nos hizo en mi explicación anterior):
• Si f(x)=[u(x)]nf(x)=[u(x)]n, entonces f′(x)=n⋅[u(x)]n−1⋅u′(x)f′(x)=n⋅[u(x)]n−1⋅u′(x)
• En tu caso:
• u(x)=5x4−6x3+xu(x)=5x4−6x3+xn=5n=5
• Paso 1: Derivamos u(x)u(x):
• u′(x)=20x3−18x2+1u′(x)=20x3−18x2+1
• Paso 2: Aplicamos regla de la cadena:
• f′(x)=5⋅(5x4−6x3+x)4⋅(20x3−18x2+1)f′(x)=5⋅(5x4−6x3+x)4⋅(20x3−18x2+1)
• Esa es la derivada. En economía, esto sería el ingreso marginal.
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• Me pides "cuando tiende por mayor y menor a 500". O sea, calcular el límite del ingreso marginal cuando x→500−x→500− y x→500+x→500+.
• Pero como la función es polinómica (continua y derivable en todo RR), el límite es simplemente evaluar en x=500x=500. Pero 500 es enorme, así que hagamos cuentas aproximadas.
• Primero: 5x45x4 domina todo.
• Para x=500x=500:
• 5x4=5⋅(5004)=5⋅(625×108)=3.125×10115x4=5⋅(5004)=5⋅(625×108)=3.125×1011
• (Literalmente: 5002=250,0005002=250,000; 5004=62,500,000,0005004=62,500,000,000; por 5 = 312,500,000,000)
• El resto:
• −6x3=−6⋅(125×106)=−750,000,000−6x3=−6⋅(125×106)=−750,000,000x=500x=500
• Sumando:
• u(500)≈312,500,000,000−750,000,000+500≈311,750,000,500u(500)≈312,500,000,000−750,000,000+500≈311,750,000,500
• Derivada u'(500):
• 20x3=20⋅(125×106)=2.5×10920x3=20⋅(125×106)=2.5×109−18x2=−18⋅250,000=−4,500,000−18x2=−18⋅250,000=−4,500,000+1+1u′(500)≈2,500,000,000−4,500,000+1≈2,495,500,001u′(500)≈2,500,000,000−4,500,000+1≈2,495,500,001
• Ahora el ingreso marginal en x=500x=500:
• f′(500)=5⋅[u(500)]4⋅u′(500)f′(500)=5⋅[u(500)]4⋅u′(500)
• u(500)4u(500)4 es enorme: un número ~ 3.1175×10113.1175×1011 elevado a la 4 = ~ (3.1175)4×1044≈94.4×1044≈9.44×1045(3.1175)4×1044≈94.4×1044≈9.44×1045
• Multiplicado por 5⋅u′(500)≈5×2.4955×109≈1.24775×10105⋅u′(500)≈5×2.4955×109≈1.24775×1010
• Producto final: ≈1.178×1056≈1.178×1056 (un número descomunal)
• Conclusión práctica: Para x=500x=500, el ingreso marginal es positivo y gigantesco. No hay diferencia entre izquierda y derecha porque la función es suave.

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