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INTRODUCCION A LOS LIMITES
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- 1INTRODUCCIÓN A LOS LIMITES EMMANUEL JIMENEZ GONZALEZ SEGUNDO UNO VESPERTINO
- 2EL VALOR ABSOLUTO Recuerde que el valor absoluto se define de la siguiente manera: |x| = x si x ≥ 0 −x si x < 0Lo anterior significa que si un n´umero es positivo o cero entonces es igual a su valor absoluto y si el
n´umero es negativo entonces su valor absoluto es su opuesto.
Algunas propiedades:
1) |x| ≥ 0 para todo x ∈ R 2) |xy| = |x| |y| para todo x, y en R
3) |x + y| ≤ |x| + |y| para todo x, y en R 4) |x| < k es equivalente a −k < x < k - 3DEFINICIÓN DE LIMITE Decimos que el l´ımite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L si a medida que x se acerca a c, ya sea por la derecha como por la izquierda, entonces los valores de f(x) se aproximan a L. Esto se escribe limx→c f(x) = LLa situacion anterior tambien se puede escribir como
f(x) → L cuando x → c - 4EXISTENCIA DE LOS LIMITES A partir del dibujo tenemos lim x→−4 f(x) = 1, lim x→2 f(x) = 1, 5 lim x→1 f(x) = 1, lim x→6 f(x) = 2, 5 Por otra parte: • lim x→−3 f(x) no existe porque cerca de 3 la funci´on crece sin cota. • lim x→4 f(x) no existe porque: si nos aproximamos a 3 por la derecha, los valores de f(x) se aproximan a 4, y si lo hacemos por la izquierda, los valores de f(x) se acercan aCuando tratamos con los l´ımites debemos tener en consideraci´on una
serie de situaciones:
1. El l´ımite de f(x) cuando x → c puede existir a´un cuando f(c) no
exista. Por ejemplo, recuerde que si
f(x) = x
2 − 4
x − 2
entonces se tiene que
lim
x→2
x
2 − 4
x − 2
= 4
y sin embargo f(2) no existe (porque en x = 2 el denominador se
hace cero).
2. Por el contrario, puede ser que f(c) exista y sin embargo limx→c
f(x)
no exista, tal es el caso si consideramos c = 4 en el gr´afico anterior.
3. Puede ser que tanto limx→c
f(x) como f(c) existan pero no sean
iguales. En el gr´afico anterior se tiene, por ejemplo,
f(2) = 2, 5 - 5PROCESO DE LOS LIMITES Mediante gráficos y tablas de valores de las funciones se introduce el concepto de limite de una función en un punto. También se proporciona casos en los cuales el limite no existe.Con la grafica y una tabla de valores
¿Que le sucede a f(x) = x
2 + 3 cuando x se acerca a 3?
Solucion: La figura 2.18 corresponde a la grafica de esta funcion. En
f tiende
a 12
Figura 2.18. f(x) = x
2 + 3
ella podemos ver que entre m´as cerca se encuentren de 3 los valores de
x, entonces los valores de f(x) se encuentran m´as cercanos a 12.
La tabla 2.1 de valores refuerza esa percepcion grafica - 6Por la derecha y por la izquierda Consideremos ahora la funcion g(x) = |x| xEn su gr´afica vemos que por la derecha de 0 las im´agenes son 1,
mientras que por la izquierda de 0 las im´agenes son −1, la gr´afica presenta un “salto” y entonces las im´agenes no se acercan a un mismo valor.
Podemos ver que el l´ımite no existe. Hagamos una tabla como las de los
ejemplos anteriores para verlo de otra manera. - 7x -0,5 -0,1 -0,01 -0,001 0,001 0,01 0,1 0,5 g(x) -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 Este caso difiere de los anteriores porque si tomamos valores de x por la izquierda de 0 entonces g(x) se hace −1, pero al tomar valores por la derecha de 0 entonces g(x) se hace 1. Esto es: la tendencia difiere seg´un el lado en que tomemos los valores.Crecimiento ilimitado
Ahora hagamos lo mismo para f(x) = 1
x
, para valores de x cercanos a
0.
En la figura 2.20 vemos que a medida que nos acercamos a 0 por la
derecha, la gr´afica de la funci´on “sube ilimitadamente” sin aproximarse
a ning´un valor en particular. - 8La tabla tambien indica esa tendencia. x -0,5 -0,1 -0,01 -0,001 0,001 0,01 0,1 0,5 g(x) -2 -10 -100 -1000 1000 100 10 2Viendo la tabla 2.4 y pensando en valores de x a´un m´as pr´oximos
a 0 es f´acil convencerse que si vamos por el lado derecho los valores de
f(x) crecen ilimitadamente (se dice que crecen sin cota) y si vamos por
el lado izquierdo los valores decrecen ilimitadamente (decrecen sin cota). - 9CALCULO DE LIMITES Dos limites especiales El limite de una funcion constante De la grafica 2.25 podemos ver que para cualquier valor de c tenemos que limx→c k = ka) lim
x→5
2 = 2
b) lim
x→−3
√
2 = √
2
c) lim
x→1
2
3, 5 = 3, 5 - 10PROPIEDADES DE LOS LIMITES Operaciones con limites Suponga que f y g son funciones tales que limx→c f(x) = L y limx→c g(x) = M entonces se tienen las siguientes propiedades:a) limx→c
f(x) + g(x)
= L + M. “El lımite de una suma de funciones es igual a la suma de los lımites
de las funciones (cuando ´estos existen)”
b) limx→c
f(x) − g(x)
= L − M. “El lımite de una resta de funciones es la resta de los lımites de esas
funciones (cuando ´estos existen)”
c) limx→c
f(x)g(x)
= L · M. “El lımite de un producto de funciones es el producto de los lımites de
esas funciones (cuando ´estos existen)” - 11d) limx→c f(x) g(x) = L M , siempre que M 6= 0. “El limite de un cociente de funciones es el cociente de los limites de esas funciones (cuando ´estos existen y el limite en el denominador es diferente de 0)” e) Si n es un n´umero entero entonces limx→c [f(x)]n = L n . Cuando n es negativo se debe tener que L 6= 0. “El limite de una potencia de una funcion es la potencia del limite de esa funcion (cuando ´este existe y en caso de que el exponente sea negativo L 6= 0)”f) Si n es un numero natural entonces limx→c
pn
f(x) = √n
L. En caso de que n sea par debemos tener
L ≥ 0. “El lımite de la raız n–´ensima de una funcion es la raız n–´ensima del lımite de la funcion
(cuando ´este existe y cuando n es par si es mayor o igual que 0)”
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- Flashcards on INTRODUCCION A LOS LIMITES, created by Emmanuel Jimenez on 26/05/2020.
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