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Description
Flashcards by lupita mora cortes , updated more than 1 year ago
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Created by lupita mora cortes
over 3 years ago
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| Question | Answer |
| Kurt Gödel nació en 1906 en Brünn (Imperio Austro-Húngaro), ahora Brno en la República Checa. Falleció en 1978 en Princeton, New Jersey, EE.UU. | Fue un lógico, matemático y filósofo austriaco-estadounidense. Reconocido como uno de los más importantes lógicos de todos los tiempos. El trabajo de Gödel ha tenido un impacto inmenso en el pensamiento científico y filosófico del siglo XX. |
| Gödel se haría célebre gracias a sus dos teoremas de la incompletitud, (publicados en 1931 a los 25 años de edad, un año después de finalizar su doctorado en la Universidad de Viena, en los cuales demostró que en cualquier sistema lógico basado en axiomas y reglas de inferencia, existen enunciados cuya verdad o falsedad no vamos a poder decidir, basándonos en la propia lógica matemática del sistema). | En 1931, con sólo 25 años, publicó su logro principal que hoy es conocido como el TEOREMA DE INCOMPLETITUD DE GÖDEL, posiblemente el descubrimiento matemático más importante del Siglo XX (igualmente denso, sólo 25 páginas). |
| El trabajo de Gödel inició nuevas ramas de estudio de la Lógica Matemática. Provocó una revolución de las filosofías matemáticas y más aún de las filosofías del conocimiento en genera. | El sueño de todo matemático es probar que su ciencia es consistente y completa. Consistente quiere decir que nunca se deducirán dos teoremas que estén en contradicción, que no se puede deducir la verdad y la falsedad de una misma proposición. Y que el sistema sea completo significa que toda proposición que haya sido o pueda ser pensada sea susceptible, con las armas de deducción del sistema, de ser probada o refutada su veracidad. |
| El Teorema de Gödel también implica, para desencanto de muchos, que las computadoras nunca podrán ser programadas para contestar toda pregunta matemática. | Gödel realizó también importantes contribuciones a la teoría de la demostración al esclarecer las conexiones entre la lógica clásica, la lógica intucionista y la lógica modal, además de demostrar la existencia de soluciones paradójicas a las ecuaciones de campo de la relatividad general del famoso científico Albert Einstein, cuyos “universos rotatorios” permitirían viajar en el tiempo (sus soluciones se conocen como la métrica de Gödel o el universo de Gödel). |
| Cantor conjeturó que tal conjunto no existía, a esta conjetura se dio en llamarla HIPÓTESIS DEL CONTINUO dando lugar a una Teoría de Conjuntos Cantoriana (o estándar). David Hilbert en el 2° Congreso Internacional de Matemáticas de París, en 1900, propuso 23 problemas no resueltos y cuyas resoluciones, consideraba Hilbert, serían avances importantes en las distintas ramas de la matemática; colocaba a la H. del Continuo en el 1er lugar de los 23 problemas. | Kurt Gödel en 1938-1940 demostró que no existe peligro en tomar la H. del Continuo como un axioma de la Teoría de Conjuntos sin que aparezca contradicción alguna, no era una demostración de la H. del Continuo, sino tan sólo una demostración de que tal hipótesis no puede ser refutada. |
| El más célebre establece que para todo sistema axiomático recursivo autoconsistente lo suficientemente poderoso como para describir la aritmética de los números naturales (la aritmética de Peano), existen proposiciones verdaderas sobre los naturales que no pueden demostrarse a partir de los axiomas. | Para demostrar este teorema, desarrolló una técnica denominada ahora numeración de Gödel, que codifica expresiones formales como números naturales. |
| La idea básica del teorema de la incompletud es bastante simple. Esencialmente, Gödel construyó una fórmula que asegura ser no-demostrable para cierto sistema formal. | Si fuera demostrable sería falsa, lo cual contradice el hecho de que en un sistema consistente las proposiciones demostrables son siempre verdaderas. De modo que siempre habrá por lo menos una proposición verdadera pero no demostrable. |
| Para todo conjunto de axiomas de la aritmética construible por el hombre existe una fórmula que se obtiene de la aritmética pero es indemostrable en ese sistema. | Para precisar esto Gödel necesitaba resolver varias cuestiones técnicas, tales como proposiciones de codificación y el concepto mismo de demostrabilidad en la teoría de los números naturales. Esto último lo realizó mediante un proceso denominado numeración de Gödel. |
| Hacia el final de la década de 1940, Gödel demostró la existencia de soluciones paradójicas a las ecuaciones de campo de la relatividad general de Albert Einstein. | Estos «universos rotatorios» permitirían viajar en el tiempo y provocaron dudas en Einstein sobre su propia teoría. Sus soluciones se conocen como la métrica de Gödel (o el Universo de Gödel). |
| En 1946, Gödel se convirtió en miembro permanente del IEA. Alrededor de este período dejó de publicar, aunque continuó trabajando. Se convirtió plenamente en profesor del instituto en 1955 y en profesor emérito en 1976. | En 1951, fue reconocido (junto a Julian Schwinger) con el primer Premio Albert Einstein, y también recibió la National Medal of Science en 1974. |
| En 1931 Gödel publicó sus célebres teoremas de la incompletud en Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme (Sobre proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas relacionados). | En dicho artículo demostró que para todo sistema axiomático computable que sea lo suficientemente poderoso como para describir la aritmética de los números naturales (e.g. los axiomas de Peano (o ZFC), entonces: 1. Si el sistema es consistente no puede ser completo. (A esto generalmente se le conoce como el teorema de la incompletud). 2. La consistencia de los axiomas no puede demostrarse al interior del sistema). |
| En su honor, en 1987 se fundó la Kurt Gödel Society, una organización internacional dedicada a la promoción de la investigación en lógica, filosofía e historia de las matemáticas. En 1951, la Universidad de Yale le nombró doctor honorario en literatura. También recibió un doctorado honorario en ciencias por la Universidad de Harvard en 1952, con una mención en la que se le declaró «el descubridor de la verdad matemática más significativa del siglo» | Fue elegido miembro de la Academia Nacional de Ciencias en 1955 y de la Academia Norteamericana de las Artes y las Ciencias en 1957. En 1961 ingresó en la Sociedad Filosófica de América y en 1967 fue elegido miembro honorario de la Sociedad Matemática de Londres. Finalmente, en 1975 el presidente Gerald Ford le entregó la Medalla Nacional de las Ciencias. |
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