Flashcards
Fichas calculo 2
Cards in this deck (65)
- 1Ecuación de la circunferencia y de la esfera
- 2Ecuacion de la recta
- 3Ecuación del plano
- 4Parabola, Elipse, Hiperbola
- 5Funcion Vectorial (o trayectoria)Es una aplicación r: [a,b] --> R^2, es decir r(t)=(x(t), y(t)
(o bien r:[a,b] --> R^3, r(t):(x(t), y(t), z(t))
x,y,z son funciones componentes y la variable independiente t parámetro
r(t) indica la posición de la partícula en el instante t. - 6Parametrización de la circunferencia y la elipsejk
- 7Derivada de una función vectorialr'(t)=(x'(t), y'(t), z'(t)). A esto se lo denomina vector tangente siempre que r'(t) exista
y r'(t)≠0
r'(t)= v(t) vector velocidad - 8Ecuación de la recta tangente a la curva C en el punto P=r(t0)Si r(t0) = P y r'(t0)≠0, entonces
L(t)= r'(t0)*(t-t0)+r(t0)
(la recta tangente tambien es una funcion vectorial) - 9¿Cuando una curva es suave en un punto P?P=r(t0) r´(t0) ≠ 0
- 10¿Como es la rapidez y la aceleración de una partícula en el tiempo t?Rapidez= ||r'(t)|| --> es un numero
Aceleracion= r''(t) --> es un vector - 11¿Como se evalúa la integral de una funciones vectoriales?Se integra cada función componente
- 12Longitud de la curva
- 13Funciones de dos variablesf: U ⊆ R^2 --> R.
Su dominio se gráfica en R^2
Se grafica en R^3 = ●dominio
●curvas de nivel
●trazas
●cortes con el plano - 14Curva de nivel de funciones de dos variablesa la constante c al conjunto formado por todos los puntos de U para los cuales la imagen vale c.
Nc(f) = {(x,y) ∈ Dom(f) : f(x,y) = c}
se grafican en R^2 - 15Trazas horizontales de funciones de dos variablesa la constante c a la curva que resulta de intersecar la superficie z = f(x,y) con el pnalo z = c
se grafican en R^3 - 16Funciones de tres variables Superfices de nivelNo se pueden graficar.
a la constante c al conjunto formado por todos los puntos de U para los cules la imagen vale c
Nc(f) = {(x,y,z) ∈ Dom(f) : f(x,y,z) = c} - 17¿Como calcular el limite de funciones de dos variables?lim f(x,y) = L
(x,y) --> (x0,y0)
Si nos da una indeterminación, elejimos caminos si hay que nos da diferente, entonces el liminte no existe. - 18¿Cuando una funcion es continua?Debe existir el limite en (x0, y0)
Debe existir la imagen en (xo, yo)
El limite debe ser igual a la imagen - 19Derivadas parciales
- 20Reglas para hallar derivas parcialesDada z = f(x,y)
Para haller fx, considerar y como constante y derivar f(x,y) respecto de x
Para haller fy. considerar x como constante derivar f(x,y) respecto de y - 21¿Cual es la interpretaion geometrica de las derivadas parciales?La derivada parcial respecto de x (y) en el punto (x0,y0) es la pendiente de la recta tangente a la curva que se obtiene d cortar a la superficie z=f(x,y) con el plano y = y0 (x=xo), en el punto (x0,y0,f(xo,yo))
- 22¿Que es el gradiente?Es el vector formado por todas las derivadas parciales
- 23plano tangente a una superficieEn el punto (x0, y0, f(x0, y0)) la ecuacion viene dada por:
z=f(x0,y0)+ fx(x0,y0)*(x-x0)+ fy(x0,y0)*(y-y0)
el plano tangente existe si f es deferenciable en (x0,y0) - 24¿Cuando una función es diferenciable?Si alguna derivada parcial no existe, entonces f no es diferenciable..
- 25¿Cuando una función es diferenciable? (teorema)Si las derivadas parciales fx y fy existen t son continuas en el entorno (x0,y0), entonces f es diferenciable en (x0,y0)
- 26Regla de la cadena
- 27Derivada DireccionalLa derivada de f en (x0,y0) en la direccion de un vector unitario u=(a,b)
- 28¿Para que se usa la derivada direccional?Se usa para calcular la pendiente de la recta tangente en cualquier dirección.
La derivadas parciales de f con respecto de x e y son casos particulares de la derivada direccional. - 29Teorema de relaciona la derivada direccional con el gradienteSi f es una funcion DIFERENCIABLE de x e y, entonces la derivada direccional es igual al gradiente de f en (xo,yo)*el vector unitario u
- 30Maximización de la derivada direccionalSea f diferenciable en el punto (x0,y0)
a) Si el gradiente = 0, entonces la derivada direccional es = 0
b)La direccion de maximo crecimiento de f esta dada por el gradiente.. El valor maximo de la derivada direccion es la norma del gradiente
c) La direccion de minimo crecimiento de f esta dada por - el gradiente. El valor minimo de la derivada direccional es - la norma del gradiente. - 31Recta tangente a curvas de nivelSi f es diferenciable en un punto (x0,y0) y el gradiente de f en (x0,y0) ≠ 0, entonces el gradiente es perpendicular a la curva de nivel que pasa por (x0,y0)
La ecuación:
∇f(x0,y0)*(x-x0, y-y0) = 0 - 32Segundas derivadas parcialesSi f es una función de dos variables, sus derivadas parciales fx y fy son también funciones de dos variables, de modo que podemos considerar sus derivadas parciales f(x)x (fx)y (fy)y (fy)x
Teorema: fxy = fyx - 33Puntos críticos en funciones de dos variablessi fx(x0,y0)=0 y fy(x0,y0) o si una de las derivadas parciales no existe.
En los puntos críticos hay mínimos máximos o punto silla - 34Teorema del Criterio de las Derivadas SegundasSea f con derivadas parciales de
segundo orden continuas en un disco centrado en (x0,y0)
Supongo que fx(x0,y0)=0 y fy(x0,y0)=0
Sea D=D(x0,y0)=fxx(x0,y0)*fyy(x0,y0)-(fxy(x0,y0))^2
Entonces:
◈Si D>0 y fxx(x0,y0)>0, hay un mínimo
◈ Si D>0 y fxx(x0,y0)<0, hay un máximo
◈ Si D<0, hay un punto silla
Si D=0, el criterio no brinda infromacion. - 35Teorema del LagrangeSea f y g funciones continuas con primeras derivadas parciales continuas, y tales que f tiene un extremo en un punto (x0,y0) sobre la curva de restricción g(x,y)=k. Si ∇g(x0,y0)≠0, entonces
∇f(x0,y0)=λ∇g(x0,y0) - 36¿Cuales son los pasas a seguir para usar el teorema del Lagrange1)Verificar si las funciones tienen derivadas parciales continuas
2)Resolver el sistema de ecuaciones:
∇f(x0,y0)=λ∇g(x0,y0)
g(x,y)=k
3)Evaluar f en cada punto solución obtenido en el segundo paso. El valor mayor da el máximo de f sujeto a la restricción g, y el valor mínimo da el minio de f sujeto a dicha restricción - 37¿Cuando un conjunto es cerrado y acotado?Un conjunto cerrado en R^n es aquel que contiene todos sus puntos fronteras.
Un conjunto acotado en R^n es aquel que esta contenido en algún disco. - 38Teorema extremos AbsolutosSi f es continua en un conjunto D,cerrado y acotado de R^2, entonces f alcanza sus valores máximo y mínimo absoluto en ciertos puntos en D. Es decir existen puntos (x1,y1), (x2,y2) en D tales que:
f(x1,y1) ≤ f(x,y) ≤ f(x2,y2)
∀ (x,y) ∈ D. Así (x2,y2) es la máximo y (x1,y1) es el mínimo de f sobre la región D - 39¿Cuales son los pasos que deben seguir para usar el teorema de extremos absolutos?1) Buscamos los puntos críticos en el interior de D
2)Usamos el teorema del lagrange
3)El mas grande de los valores encontrados en los paso 1 y 2 es le valor máximo absoluto; el mas pequeño de estos valores es el valor mínimo absoluto - 40Teorema de fubini Para integrales doblesSi f es continua podemos usar el teorema de fubini. Tenemos que describir la región
❖Tipo I: movemos a x entre constante e y entre funciones
❖Tipo 2: movemos a y entre constantes e x entre funciones.
luego calcular la integral doble. - 41Coordenadas polares
- 42Teorema de cambio de variable integrales dobles(coord. polares)Describo lo región usando r(radio) y θ(angulo) f(x,y)=f(rcosθ,rsenθ)
agrego el jacobiano que es r. - 43Teorema de fubini Para integrales triplesSi f es continua podemos usar el teorema de fubini. Tenemos que describir la región
❖Tipo I: describimos a x e y como antes y movemos a z entre funciones.
❖Tipo 2: describimos a z e y como antes y movemos a x entre funciones.
❖Tipo 3: describimos a x y z como antes y movemos a y entre funciones.
luego calcular la integral triple. - 44Coordenadas cilíndricas
- 45Teorema de cambio de variable integrales triples(coord. cilindricas)Describimos la región usando r(radio)
θ(angulo) y z.
f(x,y,z) = f(rcosθ, rsenθ, z) y agregamos el gacobiano que es r - 46Coordenadas esféricas
- 47Teorema de cambio de variable integrales triples(coord. esféricas)Describimos la región usando ρ (es como el radio pero con altura) θ (es igual que en las otras) φ (del eje z a ρ maximo π )
f(x,y,z) = f(ρsenφcosθ, ρsenφsenθ, ρcosφ)
y agregamos el jacobiano ρ^2senφ - 48Campo VectorialSea D un subconjunto de R^2. Un campo vectorial sobre D es una función F
que asigna a cada (x,y) ∈ D
el vector F(x,y) en R^2
F: D ⊂ R^2 --> R^2 ó F(x,y): M(x,y)i+N(x,y)j
donde M y N son funciones escalares de dos variables denominadas funciones componente del campo f - 49Campo vectorial gradiente y conservatorioEl gradiente es un campo vectorial.
Si una función F es igual al gradiente entonces se llama campo vectorial conservatorio - 50Integrales de trayectoriaSirve para calcular la masa total de un alambre.
Consideramos f:R^3 --> R y una trayectoria
c:[a,b] --> R^3 de ecuación c(t):(x(t), y(t), z(t))
La integral de f a lo largo de la trayectoria c se define como
∫ entre a y b de f(c(t))*||c'(t)|| dt
Siempre que c sea suave y la funcion f(c(t)) sea continua en [a,b] - 51Intregrales de LinieasSirven para calcular el trabajo realizado por una fuerza para mover una partícula a lo largo de c.
Sea F un campo vectorial en R^3 continuo sobre la trayectoria suave c:[a,b] --> R^3.
La integral de linea de F alo largo de c esta dada por:
∫ entre a y b de F(c(t))*c'(t) dt
Otra forma usando las funciones componentes M y N (y P)
∫Mdx + ∫Ndy (+ ∫Pdz) - 52Vector tangente unitarioSi c: [a,b] --> R^3 es una funcion vectorial suave, este se define por T(t) = c'(t) / ||c'(t)||
- 53Teorema fundamental para integrales de LineaSi f: R^3 --> R tiene derivadas parciales cotinuas y c: [a,b] --> R^3 es una trayectoria suave, entonces
∫∇f ds= f(c(b)) - f(c(a)) - 54¿Cuando decimos que dos funciones vectoriales que parametrizan a la misma curva persevan la orientacion?Cuando ambas poseen el mismo vector tangente unitario.
Y si son opuesto diremos que invierten la orientación - 55¿Cuando una curva es cerrada y simple?Es cerrada si su extremo coincide con su origen.
Es simple si no se corta con ella misma - 56Teorema de greenSea c una curva suave a trozos, simple y positivamente orientada en el plano, sea D la región limitada por c. Si P y Q tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene a D entonces
∫ Pdx + Qdy = ∫∫(Qx-Py) dA - 57Corolario del teorema de greenSi D es una región elemental acotada por una curva suave a trozos, simple y cerrada C, orientada en sentido antihorario, entonces el area D viene dada por
A:1/2 ∫ -ydx + xdy - 58Superfices parametrizadasparametrizamos a una superfice mediante una funcion vectorial r(u,v) de dos parametros u y v
- 59Ecuacion del Plano Tangente a superficies parametrizadas(x-x0, y-y0, z-z0)*N(u0,v0) = 0
- 60Pasos para hallar el plano tangente1) Hallar (u0, v0) tal que el punto P0(x0,y0,z0) = r(u0,v0)
2) Calcular los vectores tangente ru y rv
3)Obtener el vector normal N(u0,v0)=ruXrv
Si N≠0 hay plano tangente en dicho punto - 61Area de una superficieSi una superficie parametrizada suave esta dada por la ecuacion
r(u,v)= x(u,v)i + y(u,v)j + z(u,v)k con (u,v) ∈ D
A(s)= ∫∫ ||ruXrv||dudv - 62RotacionalrotF= ∇ x F =
Se usa en R^3
- 63DivergenciadivF= Mx+ Ny +Pz
Se usa para cualquier dimension - 64Integrales sobre superficies en funcionesSea f(x,y,z) una funcion escalar continua cuyo dominio contiene una superficie S de ecuacion parametrica r(u,v) = x(u,v)i + y(u,v)j +z(u,v)k con (u,v) ∈ D. definimos la integral de superficie de f sobre S como
∫ ∫ f(x,y,z)dS = ∫ ∫ f(r(u,v))*||ruXrv|| dA - 65Interales sobre superficies en campo vectorialSi F es un campo vectorial continuo en una superficie S suave y orientada (parametrizada por una funcion r) entonces la integral de superficie de F sobre S es
∫ ∫ FdS= ∫ ∫ F*(ruXrv) dA
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- Otro calculo 2 Flashcards on Fichas calculo 2, created by Marysol Gutierrez on 30/06/2022.
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- Marysol Gutierrez
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