calculo unidad 3

Modulo 3

Calculo Diferencial

Limite

Informal

lim f(x)=L

x→a

f(x) estar arbitrariamente cerca de L (tan cerca a L como si quiera) conforme x está arbitrariamente cerca (pero no igual) a a

Formal

Sea f:Dom(f)→R una función definida en cada número de algún intervalo abierto que contenga a a, excepto posiblemente en el número a mismo.

Unicidad del limite

El límite de una función, si existe, es único

Teorema

Determinación algebraicas de límites

Se usan métodos algebraicos para halla límites de manera exacta

Leyes de límites

Se usan las siguientes propiedades de límites para calcular los límites

Supongamos que c es una constante y que los siguientes límites existen

Limite de una diferencia

Limite de una suma

Limite de un múltiplo constante

Limite de un cociente

Limite de un producto

Limite de una potencia

Limite de la raíz

Límites por sustitución directa

Si f es una función y a esta en el dominio de f

Las funciones con esta propiedad de sustitución directa se llaman continuas en a

Indeterminaciones

Hay límites que evaluandolos directamente, se obtienem las siguientes determinaciones

Una indeterminación es una operación matemática con resultado no conocido y cuya solución (finita o infinita) puede existir o no

No son deperminaciones

Determinación de límites por medio de álgebra y leyes de limites

Cancelación de factor común

Se factoriza numerador y denominador, y se simplifica el factor común

Racionalización

Consiste en multiplicar y dividir por el conjugado de la expresión a racionalizar

Cambio de variable

Simplificación

Límites laterales

Algunas veces el valor de la función f puede aproximarse a diferentes valores cuando x se aproxima a número a desde los lados opuestos

Límite por la izquierda

Límite por la derecha

El límite de f conforme x se aproxima a a por la izquierda de f en x

El límite de f conforme x se aproxima a a por la derecha de f en a

Teorema

Una función, f(x) tiene un límite conforme x se aproxima a a si, y solo si, los límites laterales derecho e izquierdo en a existen y son iguales

Límites de las funciones trigonométricas

Los teoremas son útiles para el cálculo de límites con funciones trigonométricas

Teoremas

Los infinitos y el límites

El símbolo ∞ llamado infinito no es un número real, es decir no es algebraico ni aritmético, pero si tiene un carácter posicional

Límites en el infinito

Se examina el límite de una función f(x) cuando aumentaba el valor de x indefinidamente (es decir x→+∞)

Límites de funciones racionales

Se factoriza la mayor potencia de x en el numerador y denominador para luego hacer uso de teoremas

Indeterminación 0 x ∞

Indeterminación ∞ - ∞

Indeterminación 0⁰, ∞⁰

Se convierte en una de tipo 0 x ∞, que se resuelve con las técnicas ya descritas

En algunos casos sencillos basta con simplificar la función, desapareciendo así la indeterminación

Se puede tomar la inversa de una de las funciones, obteniendose indeterminaciones del tipo 0/0 o ∞/∞

Si la indeterminación se debe a diferencia de raíces, se procede a su racionalización, multiplicación y dividiendo por el conjugado de la raíz