Límites y continuidad.

Límites y continuidad.

1. Límites:

   • Definición: Un límite es una magnitud a la que se acercan progresivamente los términos de una secuencia infinita de magnitudes, por lo tanto, expresa la tendencia de una función o de una sucesión mientras sus parámetros se aproximan a un cierto valor.
   • Clases de límites:
     • LIMITES LATERALES: Una función tiene límite si existen los dos límites laterales y estos coinciden. El límite de una función f(x) en a, si existe, este límite es único. Se podrían dar valores a x cada vez más próximos a por la izquierda o por la derecha. Obtendremos el límite lateral por la izquierda, al que llamaremos L1 y/o el límite lateral por la derecha, al que llamaremos L2. Por lo tanto, para que exista el límite L de una función f(x) en a, si existe, deben ser iguales el límite por la izquierda y el límite por la derecha, L1 = L2.
     • LIMITES INDETERMINADOS (¥ significa infinito): Contra lo que se pudiera pensar, un límite de la forma ¥ – ¥ no da, en general, como resultado cero, tampoco un límite de la forma 1¥ da siempre como resultado uno. Por esta razón se les llama límites indeterminados y se requiere hacer un estudio particular para cada caso.
     • LIMITES INFINITOS: limx->af(x) = +inf <=> para todo A > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ f(x) > A. El límite de f(x) cuando x->a es infinito positivo, si para cualquier número positivo A (tan grande como se quiera), podemos encontrar un número δ tal que, para todos los x dentro del entorno reducido de a de radio δ se cumple que f(x) es mayor que A.
   • PROPIEDADES DE LOS LÍMITES: son operaciones que se pueden emplear para simplificar el cálculo del límite de una función más compleja. Al tratarse de operaciones, también se le denomina álgebra de los límites.
     • Unicidad del límite: cuando el límite existe, el límite es único. Fórmula de la unicidad de un límite.
     • Propiedad de la suma: el límite de la suma es la suma de los límites.
     • Propiedad de la resta: el límite de la resta es la resta de los límites.
     • Propiedad del producto: el límite del producto es el producto de los límites.
     • Propiedad de la función constante: el límite de una función constante es esta misma constante.
     • Propiedad del factor constante: en un límite de una constante multiplicada por una función se puede sacar la constante del límite sin que se afecte el resultado.
     • Propiedad del cociente: el límite de un cociente de dos funciones es el cociente de los límites de las mismas.
     • Propiedad de la función potencial: el límite de una función potencial es la potencia del límite de la base elevado al exponente:
     • Propiedad de la función exponencial: el límite de una función exponencial es la potencia de la base elevada al límite de la función exponente:
     • Propiedad de la función potencial exponencial: el límite de una función potencial exponencial, es la potencia de los límites de las dos funciones:
     • Propiedad de la raíz: el límite de una raíz, es la raíz del límite:
     • Propiedad de la función logarítmica: El límite del logaritmo es el logaritmo del límite.

2. Continuidad:

   • Definición: Intuitivamente, es fácil captar el concepto de continuidad. En términos sencillos, puede decirse que una función real de variable real es continua en un intervalo cuando se puede dibujar sobre el papel a lo largo de dicho intervalo sin levantar el lápiz. La descripción matemática de esta idea intuitiva recurre al uso de la noción de límite.
   • Clases de continuidad:
     • Discontinuidades evitables Toda función que en un punto dado no cumple alguna de las condiciones necesarias para la continuidad se denomina discontinua. Cuando la discontinuidad se debe al hecho de que existe el límite de la función en el punto, pero la función no está definida para el mismo, se habla de discontinuidad evitable.
     • Discontinuidades no evitables Existen otros tipos de discontinuidades que no pueden resolverse, por lo que se llaman discontinuidades no evitables. Estas discontinuidades se clasifican en: Discontinuidades de salto: cuando existen ambos límites laterales (por la derecha y por la izquierda), pero no coinciden. Discontinuidades asintóticas: cuando el límite es infinito. Discontinuidades por el dominio de definición: cuando existe el límite y la función está definida en el punto, pero ambos valores no coinciden. En sentido genérico, se llama discontinuidad de segunda especie a la que tiene lugar cuando uno de los límites laterales es finito y el otro es infinito o no existe.
   • Propiedades continuas
     • Dadas dos funciones f(x) y g(x) continuas en un punto o en un intervalo, se cumple entonces que: La suma y la resta de ambas es una función continua en ese punto o intervalo. El producto de las dos funciones es una función continua en ese punto o intervalo. El cociente entre ambas funciones es una función continua en ese punto o intervalo salvo en aquellos en los que el denominador se anula. Si f(x) es continua en a y g(x) es continua en f(a), entonces la composición de funciones (g ° f) (x) es también continua en a.