Calculo I - Limites

Calculo I - Limites

1. Limites

   • Cálculo de Limites
     • Teorema 1
       • Sejam a e k números reais quaisquer. Então
         • (i) lim x→ a k = k
         • (ii) limx → a x = a
         • (iii)lim x → 0+ 1/x = +∞ (iv)lim x → 0- 1/x = -∞
     • Teorema 2
       • Sejam a pertencente aos reais, f(x) e g(x) duas funções reais tais que limx → a f(x) = L1 e limx → a g(x) = L2. Então
         • (i) lim x → a [f(x) + g(x) ] = L1+L2 (ii) lim x → a [f(x) - g(x) ] = L1-L2
         • (iii) lim x → a [f(x) * g(x) ] = L1*L2
         • (iv) lim x → a [f(x) / g(x) ] = L1/L2; L2 ≠ 0 (v) lim x → a ²√f(x) = ²√L1; L1 ≥ 0
     • Teorema 3
       • Seja f(x) = c0 + c1x +...+ cnx^n, então é uma função polinominal de grau n
         • lim x → a f(x) = f(a)
     • Teorema 4
       • Seja f(x) uma função racional em que p e q são polinômios. Então se a pertence aos Reais está no domínio de f
         • lim x → a f(x) = lim x → a p(x)/ q(x) = p(a)/q(a); q(a)≠ 0
         • Se o denominador q(x) → 0 quando x → a, temos que a fração p(x)/q(x) assume valores cada vez maiores (em valor absoluto)
           • lim x → a p(x)/ q(x) = ±∞
   • Limite de uma função
     • Teoremas
       • 1 – O limite da soma de duas ou mais funções de mesma variável deve ser igual à soma dos seus limites.
       • 2 – O limite do produto de duas ou mais funções de mesma variável deve ser igual a multiplicação de seus limites.
       • 3 – O limite do quociente de duas ou mais funções de mesma variável deve ser igual à divisão de seus limites, ressaltando que o limite do divisor seja diferente de zero.
       • 4 – O limite da raiz positiva de uma função é igual à mesma raiz do limite da função, lembrando que esta raiz precisa ser real.
     • Reta Tangente
       • A reta tangente ao gráfico de uma função nem sempre existe.
         • Quando o limite existe, seu valor M tg​ é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto P(x0, y0)
         • Se dois pontos distintos P(x0, y0 e Q(x1, y1) fazem parte da curva y = f(x) , o coeficiente angular da reta secante que conecta os dois pontos é
         • A equação da reta tangente é: Y = mx + 1 - m Y = m(x-1) +1
   • Continuidade de Funções
     • Contínuas
       • (i) f(a) existe; (ii) limx → a f(x) existe; (iii) lim x→a f(x) = f(a). Se f não é contínua em x = a dizemos que f é descontínua em x = a.
         • Propriedades
     • Não contínuas
       • Somos levados a dizer que a função g não é contínua no ponto ou que 0 é um ponto de descontinuidade da função.
   • Lateral
     • Esquerda
       • Se x se aproxima de a através de valores menores que a ou pela sua esquerda, ou seja, x→a com x<a. Escrevemos usando um "-".
     • Direita
       • Se x se aproxima de a através de valores maiores que a ou pela sua direita, ou seja, x→a com x>a. Escrevemos: usando um "+".
     • Está ligada a noção de proximidade. Dados uma função f: A → R e um ponto conveniente a pertencendo aos Reais, para saber se o valor a imagem f(x) se aproxima quando x se aproxima de a .
     • O limite de f(x) para x a existe se, e somente se, os limites laterais à direita a esquerda são iguais, ou sejas:
     • Assíntotas
       • Assíntotas são retas fixas das quais temos a função principal se aproximando, mas nunca tocando.
       • Verticais
         • Nesse caso, temos uma função f(x) = 1/ (x -1 ). Essa função não pode assumir o valor de x = 1 pois teríamos 1/0, ao aplicarmos os limites laterais temos:
       • Horizontais
         • Para as assíntotas horizontais, testamos dois limites: um para x indo para mais e outro para x indo para menos infinito. Se um ou os dois limites derem um valor infinito teremos assíntota horizontal.
         • Não é necessário que os dois limites deem iguais a uma constante, só é preciso que um deles dê. Se os dois limites derem constantes diferentes, teremos duas assíntotas, uma de cada constante
   • Conceito
     • Importante no estudo de problemas concretos. Utilizado para descrever o comportamento de uma função à medida que o seu argumento se aproxima de um determinado valor, assim como o comportamento de uma sequência de números reais, à medida que o índice (da sequência) vai crescendo, tende para infinito.
       • lim x→a+ f(x) = f(a) e lim x→b− f(x) = f(b).
       • Limites podem ou não existir, caso ambos existam, eles podem ou não coincidir. Mesmo quando coincidirem , esse valor em comum pode ou não ser igual a f(a) e pode até acontecer que a função f nem esteja definida no valor a.
   • Limites Infinitos
     • As operações que envolvem ±∞ e que possuem valores reais, ao contrário das operações que geram indeterminação.
       • Se f(x) = p(x)/q(x) onde q(x) = 0 então lim x → a f(x) = ±∞
         • Nesse caso, o sinal do infinito é determinado pelo sinal de p(a) e pela direção que p(a) → 0, ou seja, se por valores maiores que zero será +∞ ou menos que zero -∞.
     • Teorema
   • Limites NO infinito
     • O comportamento de h(x)=1/x, quando x cresce arbitrariamente (x→ +∞ ) ou quando x decresce arbitrariamente (x→ -∞).
       • Limx→ +∞ h(x) = 0 Limx → -∞ h(x) = 0
       • se uma constante estiver dividida por ±∞ (K / ±∞ = 0) seu resultante será 0;
       • se a constante tiver dividida por ±0 (K / ±0 = ±∞) seu resultado será ±∞
     • Teorema
       • (i) Dizemos que o limite de f(x) quando x se aproxima de infinito é L se f(x) assume valores arbitrariamente próximos de L, desde que x seja suficientemente grande. Dizemos nesse caso que y = L é uma assíntota horizontal do gráfico de f.
       • Se f(x) assume valores arbitrariamente grandes em valor absoluto, com f(x) < 0, desde que x seja suficientemente grande
         • (ii) Dizemos que o limite de f(x) quando x se aproxima de infinito é infinito se f(x) assume valores arbitrariamente grandes desde que x seja suficientemente grande
       • (iii) Seja n um número inteiro positivo.

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