Integrales definidas

Integrales definidas

1. La utilizaciòn de integrales para el càculo de àreas: Un coche se mueve variando su velocidad a lo largo del tiempo siguiendo la trayectoria, La integral es el cálculo del área que existe entre la función y el eje de abscisas (el eje X) entre dos intervalos cualesquiera (en este caso, de tiempo), siendo el área que queda por encima (del eje X) positiva y por debajo negativa. Para no profundizar en la integración y facilitar la asimilación del concepto, vamos a tomar un intervalo cuya área podamos calcular por geometría básica, por ejemplo el intervalo de tiempo (0 , 5) segundos. Como se puede comprobar, se forma un rectángulo entre esos intervalos. Si calculamos el área de ese rectángulo, estamos hallando la integral de la función entre el intervalo (0 , 5) segundos, ¿Cuál es el área de un rectángulo? El área de un rectángulo, como habéis podido comprobar en el enlace, es base por altura.

   • Se puede observar que la base es 5 y la altura (-8), por tanto, aplicando la fórmula A = B · h = 5 · (-8) = -40 Estoy seguro que todavía os queda una pregunta. Habéis aprendido que el área entre una función y el eje de abscisas se puede calcular realizando la integral entre dos intervalos, pero... ¿Y para qué sirve el cálculo del área en este ejemplo? En nuestro caso, la integral de la velocidad respecto al tiempo nos da el espacio recorrido en un intervalo determinado. Esto no tenéis por qué saberlo, ya que forma parte del campo de la física, pero gracias a la integral, hemos deducido que el coche se ha movido 40 metros hacia atrás de su punto de origen en los primeros 5 segundos.

2. PROPIEDADES

   • Integral definida entre dos limites de integración iguales: La integral definida entre dos límites de integración iguales, es decir, cuando el límite superior de integración y el límite inferior son iguales, entonces su resultado es igual a cero. Esto es así, porque realmente no estamos calculando el área entre dos límites de integración
   • Integral definida de una función positiva: Si una función es positiva dentro de un intervalo [a,b], es decir, que en ese intervalo la función queda por encima del eje x, la integral definida es positiva, cuyos límites de integración son los límites de ese intervalo. Por tanto, el área limitada por la función, en eje x y los valores a y b, es igual a la integral definida en ese intervalo.
   • Integral definida de una función negativa Siguiendo la misma línea que la propiedad anterior, si una función es negativa dentro de un intervalo [a,b], es decir, que en ese intervalo la función queda por encima del eje x, la integral definida es negativa, cuyos límites de integración son los límites de ese intervalo: En este caso, el área limitada por la función, en eje x y los valores a y b, es igual a la integral definida en ese intervalo, precedida por un signo menos: Esto es así, ya que los valores de un área siempre son positivos. Como en este caso, el valor de la integral será negativo, debemos volverla positivo con un signo menos delante. Esta propiedad se debe utilizar cuando el área que te pidan calcular, se quede por debajo del eje x. Si la función cambia de signo en un determinado intervalo, el área de ese intervalo será la suma de las áreas de cada recinto. Por ejemplo, tenemos una función cambia de signo en un intervalo [a,d]: En este caso nos quedan 3 recintos,
   • Uno definido entre los puntos a y b, que llamaremos S1, otro definido entre los puntos b y c, que llamaremos S2 y otro entre los puntos c y d que llamaremos S3. El área limitada por la función, el eje x y los puntos a y d será la suma de esos tres recintos: O lo que es lo mismo, la suma de las respectivas integrales definidas, afectadas por su signo correspondiente, en función de si quedan por encima o por debajo del eje x: Vemos que la integral definida entre b y c es negativa por quedar por debajo del eje x.
   • Integral definida entre puntos del interior del intervalo: Si tenemos un punto c, que pertenece al intervalo [a,b], el área limitada en ese intervalo es igual al área limitada entre los puntos de abcisa a y c, más el área limitada entre los puntos de abcisa b y c y por tanto, lo mismo ocurre con el valor de la integral definida: Esta propiedad se puede generalizar a tomar más puntos dentro del intervalo [a,b]. Date cuenta que con esta propiedad también se cumple lo mismo que en la propiedad anterior, para las funciones que cambian de signo: el área total es la suma de las áreas de los recintos.
   • La integral definida de la multiplicación de un número por una función: La integral definida de la multiplicación de un número por una función es igual a ese número por la integral definida de la función: Es decir, podemos sacar la constante fuera de la integral al igual que hacemos en las integrales indefinidas. Integrales definidas de dos funciones Si una función g(x) es mayor o igual que otra función f(x), es decir, g(x) queda por encima de f(x), entonces, su integral definida también será mayor o igual: Esto es así ya que el área que encierra la función g(x) será mayor que la que encierre la función f(x).

3. LA SUMA EN INTEGRALES DEFINIDAS

   • Las integrales definidas representan el área bajo la curva de una función, y las sumas de Riemann nos ayudan a aproximar esas áreas. La pregunta es: ¿hay una manera de encontrar el valor exacto de una integral definida? Sumas de Riemann con un número "infinito" de rectángulos Imagina que queremos encontrar el área bajo la gráfica de f(x)=\dfrac15x^2f(x)= 5 1 ​ x 2 f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, 5, end fraction, x, squared entre x=2x=2x, equals, 2 y x=6x=6x, equals, 6. Usando la notación de integral definida, podemos representar el área exacta como: \displaystyle\int_2^6 \dfrac15 x^2\,dx∫ 2 6 ​ 5 1 ​ x 2 dxintegral, start subscript, 2, end subscript, start superscript, 6, end superscript, start fraction, 1, divided by, 5, end fraction, x, squared, d, x Podemos aproximar esta área mediante sumas de Riemann. Sea R(n)R(n)R, left parenthesis, n, right parenthesis la aproximación por suma de Riemann derecha con nnn subdivision

4. NOCIONES DE ÀREAS BAJO CURVAS

   • La formulación del área bajo una curva es el primer paso para desarrollar el concepto de integral. El área bajo la curva formada por el trazo de la función f(x) y el eje x se puede obtener aproximadamente, dibujando rectángulos de anchura finita y altura f igual al valor de la función en el centro del intervalo. Si hacemos más pequeño la anchura del rectángulo, entonces el número N es mas grande y mejor la aproximación al valor del área.
   • La interpretación geométrica de la regla de Barrow nos dice que la integral definida representa el área entre la curva y el eje de abcisas Área bajo la curva - Esto es cierto si la curva es positiva en el intervalo [a,b], es decir, si está por encima del eje OX. - Si estuviese por debajo, nos saldría un resultado negativo (tomando valor absoluto se soluciona el problema). Sin embargo, hay veces en que la curva tiene partes por debajo y partes por encima
   • Si hacemos la integral definida entre a y b nos conduciría a un resultado erróneo. Habría que descomponer la integral en tres partes correspondientes a los intervalos [a,c] [c,d] y [d,b] y además tener en cuenta que en el intervalo [c,d] debemos tomar valor absoluto (porque saldría un área negativa al estar por debajo del eje). Lo más práctico es tomar valor absoluto en todos los intervalos (y así no necesitamos saber los que están por encima y los que están por debajo).