Funciones elementales

Funciones elementales

1. Funciones lineales

   • Una función lineal es aquella cuya expresión algebraica es de la forma y=mx, donde m no es igual a 0, también reciben el nombre de funciones de proporcionalidad directa.
     • La representación gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas, y en la que: El cociente de x, m, es la pendiente es indica la inclinación que tiene la recta respecto a la parte positiva del eje X. El signo de la función determina el crecimiento de la función.
       • Si m>0 es creciente
       • Si m<0 es decreciente
   • Para calcular la pendiente se despeja la expresión algebraica de la función y=mx y que m=y/x
   • Bisectrices
     • En la expresión de la función lineal, y=mx, puede ocurrir que m=1 o m=-1.
       • Recta bisectriz del primer y tercer cuadrante: si m=1, la expresión algebraica de la función es y=x
       • Recta bisectriz del segundo y cuarto cuadrante: si m=-1, la expresión algebraica de la función es y=-x
   • Expresión algebraica a partir de su gráfica
     • Si la gráfica de la función es una recta que pasa por el origen de coordenadas, entonces es lineal. Para hallar el valor de la pendiente, m, se sustituyen la x y la y por las coordenadas de un punto cualquiera de la recta, con x diferente de 0, en la expresión obtenida anteriormente: m=y/x

2. Funciones afines

   • Una función afín es aquella cuya expresión algebraica es de la forma y=mx+n, llamada ecuación explícita de la recta.
     • m= pendiente
     • n=ordenada de origen, es el valor de la y cuando x=0
     • si m>0, la función es creciente, m<0, la función es decreciente
   • Rectas paralelas a los ejes
     • rectas paralelas al eje de abscisas
       • En la expresión y=mx+n, si m=0, la expresión algebraica de la función es y=n y se trata de una función constante cuya gráfica es una recta paralela al eje de abscisas, X.
     • rectas paralelas al eje de ordenadas
       • NO son funciones porque cada valor de x está asociado a infinitos valores de y. Son paralelas al eje Y y su expresión algebraica es x=k, donde k es el número real.
   • Tipos de ecuaciones de rectas
     • ecuación general: ax+by+c=0
     • ecuación punto-pendiente
     • ecuación de la recta que pasa por dos puntos
       • Una vez calculada la pendiente, la expresión algebraica se puede obtener de dos maneras
         • sustituyendo la pendiente y uno de los dos puntos en la ecuación punto-pendiente
         • sustituyendo la pendiente y uno de los dos puntos en la ecuación de la función lineal, con lo que se obtiene el valor de la ordenada en el origen, n

3. Funciones cuadráticas

   • Una función cuadrática es aquella cuya expresión algebraica presenta la forma y=ax**2+bx+c, donde a, b y c son tres números reales y a es distinta de 0
   • Abertura
     • El coeficiente x**2, a, determina la abertura de la parábola. Cuanto mayor sea el valor absoluto de a, más cerrada será la abertura.
       • si a>0 las ramas de la parábola apuntarán hacia arriba
       • si a<0 las ramas de la parábola apuntarán hacia abajo
   • Vértice
     • Es el punto más alto, máximo absoluto, si a<0, o más bajo, mínimo absoluto, si a >0. Sus coordenadas son:
   • Eje de simetría
     • Es la recta paralela al eje Y que pasa por su vértice y que tiene por ecuación:
   • Puntos de corte
     • con el eje X
     • con el eje Y

4. Funciones de proporcionalidad inversa (hipérbola)

   • Discontinuidad
     • Es una función discontinua de tipo salto infinito en x=0, pues en ese valor no existe la función, ya que y=k/0. Luego, su dominio es D=R - {0}
   • Posición en el plano
     • El signo de la constante k determina en qué cuadrantes se encuentran las ramas de la hipérbola
       • si k>0, las ramas están en el primer y tercer cuadrante
       • si k<0, las ramas están en el segundo y cuarto cuadrante
   • Su expresión algebraica es y=k/x, con k distinta de 0, dónde k es la constante de proporcionalidad inversa, que se obtiene al despejarla de la expresión algebraica k=xy.
   • Asíntotas
     • A medida que damos valores más grandes a x, en valor absoluto, las ramas se aproximan a la recta x=0 (ejeY), llamada asíntota total
     • A medida que damos valores más grandes a y, en valor absoluto, las ramas se aproximan a la recta y=0 (eje X), llamada asíntota vertical.
   • Simetría
     • La hipérbola es simétrica con respecto al origen de coordenadas o tiene simetría impar

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