DERIVACION E INTEGRACION NUMERICA

DERIVACION E INTEGRACION NUMERICA

1. DERIVACION NUMERICA

   • Consideremos una función f(x) de la cual, se conoce un conjunto discreto de valores (x0, f0), (x1, f1), ..., (xn, fn).
     • Las aproximaciones numéricas que podamos hacer (para h > 0) serán:
       • DIFERENCIAS HACIA ADELANTE
       • DIFERENCIAS HACIA ATRAS
     • La aproximación de la derivada por este método entrega resultados aceptables con un determinado error. Para minimizar los errores se estima que el promedio de ambas entregas la mejor aproximación numérica al problema
       • DIFERENCIAS CETRALES
       • Utilizando el valor de la función en más puntos se construyen fórmulas más precisas para las derivadas
         • DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
           • DERIVADAS SEGUNDAS
           • DERIVADAS TERCERAS Y CUARTAS

2. INTEGRACION NUMERICA

   • Sea f(x) una función continua en el intervalo [a,b] y sea F(x) una anti derivada de f(x).
     • TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO
   • REGLA DEL TRAPECIO
     • Corresponde al caso donde n=1
       • donde f1(x) es un polinomio de interpolación (obviamente de grado 1
     • Este nombre se debe a la interpretación geométrica que le podemos dar a la fórmula.
   • SIMPSON 1/3
     • Debido al factor h/3 se le conoce como la regla de Simpson de un tercio.
       • En la práctica, sustituimos el valor de h = (b-a)/ 2 para obtener nuestra fórmula final:
     • SIMPSON 3/8
       • Este caso corresponde a n=3 , es decir,
         • donde h = (b-a) / 3 . Debido al factor 3h / 8 es que se le dio el nombre de Regla de Simpson de 3/8. En la práctica, se sustituye el valor de h para obtener:
   • INTEGRACION CON TERMINOS DESIGUALES
     • CASO 1
       • SIMPSON 3/8
       • Esta se aplica, si contamos con 4 puntos igualmente espaciados.
     • CASO 2
       • SIMPSON 1/3
       • Esta se aplica si falla (1) y contamos con 3 puntos igualmente espaciados.
     • CASO 3
       • REGLA TRAPEZOIDAL
       • Solo se aplica si no se cumple (1) y (2)

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