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Progressão Aritmética (PA)

Vivi 0555 Portuguese

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Introdução
- Observe a seguinte sequência:
  - (4, 7, 10, 13, 16, 19, ...)
    - Estes números são os termos da sequência.
      - O 4, que é o primeiro termo e normalmente ele aparece sendo identificado como a1.
        O 7, que é o segundo termo e normalmente ele aparece sendo identificado como a2.
        O 10, que é o terceiro termo e normalmente ele aparece sendo identificado como a3.
        E por ai vai ....
        Existe uma diferença entre o primeiro termo e o segundo e depois do segundo ao terceiro e assim por diante, essa diferença é de 3 unidades.
        Essa diferença constante entre todas as unidades dessa sequência é o que caracteriza a progressão aritmética, e essa diferença é chamada de razão, a razão é representada, normalmente pela letra r.
        Nessa sequência há uma progressão aritmética onde a razão é 3.
Definição:
- Uma PA é uma sequência em que casa termo, a partir do segundo, é a soma do anterior com uma constante r (razão) dada.
  - Exemplos:
    - (1, 3, 5, 7, 9 ...) Para descobrirmos a razão é só escolher um termo e subtrair um termo anterior: r = 7 - 5 → r = 2
      - (0, -2, -4, -6, -8, ...) r = -6 – (-4) → r = - 6 + 4 → r = -2
        (3, 3, 3, 3, 3, ...) Como esses números são iguais a razão é 0. r = 0
        O denominador dessas frações é o mesmo e a diferença entre o numerador é 4. r
        Sendo assim a razão é 1.
Interpolação Aritmética
- Interpolar meios aritméticos entre dois números dados, significa inserir números de tal forma que a sequência gerada seja uma PA. Vejamos:
  - (2, __ , __ , __ , 10)
    - Nós só conhecemos o a_1e o a_4
      - Os números inseridos (interpolados) serão 4, 6 e 8. Sendo assim sabemos que a razão é 2.
        É possível perceber que os números interpolados é exatamente igual ao número as PA menos 2.
        Exemplos:
        1- Interpolar 5 meios aritméticos entre -2 e 40.
        Isso significa que vamos ter uma PA onde o primeiro termo é o -2 e o ultimo termo é o 40. PA (-2, __ , __ , __ , __ , __ , 40)
        O total de termos é 7, então o n = 7.
        O sétimo termo, a_7 é igual ao a_1 mais 6 :
        Então vamos substituir o a_7 por 40 e o a_1 por -2:
        40= -2+6r
        Agora vamos resolver:
        Descobrimos então que a razão é 7.
        Agora conseguimos descobrir os outros termos somando o 7.
        O segundo termo é: -2 + 7 = 5
        O terceiro termo é: 5 + 7 = 12
        O quarto termo é: 12 + 7 = 19
        O quinto termo é 19 + 7 = 26
        O sexto termo é 26 + 7 = 33
        Então essa PA fica: PA (-2, 5 , 12 , 19 , 26 , 33 , 40)
Termo Geral de uma PA
- Vamos agora encontrar uma expressão que nos permita obter um termo qualquer de uma PA, conhecendo apenas o 1° termo e a razão.
  - Seja
    - uma PA de razão r, temos:
    - O a2 é a oa1 mais uma vez a razão: a2 = a1 + r
      - O a3 é a o a1 mais duas vezes a razão: a3 = a1 + 2r
        O a4 seria a o a1 mais três vezes a razão: a4 = a1 + 3r
        Generalizando podemos usar essa formula:
        • Fórmula:
        O a1 e o r sempre aparecem. E é possível perceber que o número que multiplica o 5 é 1 unidade menor que o a.
        a_n: termo geral (enésimo termo);
        a_(1 ): primeiro termo;
        n : número de termos;
        r: razão da PA
        Exemplos:
        Observações:
        1. Note que:
        Se nós queremos avançar nos termos, ou seja, "caminhar" para frente em uma progressão aritmética nós somamos as razões.
        Se nós queremos retroceder nos termos, ou seja, "caminhar" para trás em uma progressão aritmética nós subtraímos as razões.
        Podemos estender a definição do termo geral para:
        Exemplos:
        Exemplo: qual é a razão de uma PA na qual o quarto termo é 30 e o décimo segundo termo é 62?
        Calculando:
        2. Numa PA finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual a soma dos extremos.
        Equidistantes: de mesma distância.
        (3, 6, 9, 12, 15, 18)
        A soma dos termos extremos é 21 (3 + 18 = 21)
        Somando o 6 e o 15 o resultado também é 21.
        Somando o 9 e o 12 o resultado também é 21.
        Exemplo:
        Isso porque a distância entre o a_(1 )e o a_5 é de 4 termos e a distância entre o a_20 e o a_16 também é 4.
        3. Em uma PA, tomando-se três termos consecutivos, o termo central é a média dos seus vizinhos.
        (1, 5, 9, 13, 17, 21, 25)
        A razão desse PA é 4.
        Vamos pegar três termos consecutivos, por exemplo, 9, 13 e 17. A soma entre o 9 e o 17 é 26 (9 + 17 = 26). A média de 9 e 17 é 13 (26 ÷ 2 = 13).
        Vamos pegar agora o 5 e 21 e somar os 2, o resultado é 26 (5 + 21 = 26).
        A soma do 1 e do 25 também é 26.
        O termo central não é apenas a média dos seus vizinhos, mas também dos termos equidistantes dele.
        Notações Especiais
        Quando procuramos obter uma PA com 3, 4 ou 5 termos é muito prática a seguinte notação:
        Para 3 termos:
        Vamos chamar o a2 de x.
        Se queremos saber quanto é o a_1 subtraímos a raiz com o a2.
        Se queremos saber quanto é o a_3 somamos a raiz com o a_2.
        A notação fica: PA (x-r,x,x+r)
        Antes da notação tínhamos 3 incógnitas e agora com a notação temos apenas 2.
        Para 4 termos:
        Podemos escrever essa PA assim:
        Para 5 termos:
        Vamos considerar o a_3 como um valor x.
        PA(x-2r,x-r,x,x+r,x+2r)
        Temos uma PA com 5 termos e apenas 2 incógnitas.
        Exemplo:
        Determine x de modo que (x, 2x + 1, 5x - 6) seja uma PA.
        Temos que descobrir qual é o valor de x quando substituído teremos uma PA formada por 3 termos.
        Uma PA de 3 termos pode ser escrita dessa forma:
        A razão dessa PA é: r = a2-a1 e também r = a3-a2
        Podemos dizer que o
        Vamos passas o a_2 para o outro lado e o -a_1 para o outro lado também, vamos ficar com:
        E depois:
Soma dos Termos de PA:
- Somar qualquer termo de uma PA é somar o primeiro termo com o último termo. O resultado dessa adição deve ser multiplicado pela quantidade de termos e depois dividir por 2. Veja a fórmula:
  - Essa é a fórmula da soma dos termos de uma PA finita.
    - Exemplo:
      - 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100
        101 . 50 = 5050
        Exemplos:
        1. Calcule a soma dos 50 primeiros termos da PA (2, 6 ...)
        Nessa PA o primeiro termo é o 2 e o segundo é o 6, ou seja, o α_1 é 2 e o α_2 é 6. Sabendo isso podemos descobrir a razão: r = 6 -2 → r = 4
        Para descobrir a soma dos 50 primeiros termos usamos a fórmula:
        Substituindo na fórmula:
        O quinquagésimo termo é o primeiro termo acrescido de 49 razões:
        Para calcular o α_50 vamos fazer assim:
        Sendo assim o α_50 é 198.
        Agora para descobrir qual a soma dos 50 primeiros termos substituímos o α_50 por 198:
        O 50 vira 25, pois ele tem de ser dividido por 2.
        2. A soma dos dez termos de uma PA é 200. Se o 1° termo dessa PA é 2, qual é a razão da PA?
        Sabemos que a fórmula da soma é
        Substituindo pelas informações que temos fica:
        Agora que sabermos o valor do α_10 podemos descobrir a razão.
        Substituindo os termos ficamos com: 38= 2+9r
        Resolvendo:
Classificação:
- As progressões aritméticas podem ser classificadas em três categorias:
  - 1. PA crescente: r > 0 (a razão é positiva) Qualquer termo dessa PA é maior do que o seu antecessor;
    - Ex: (1, 3, 5, 7, 9 ...),
  - 2. PA constante ou estacionária: r = 0 (a razão é 0) Quando todos os seus termos são iguais;
    - Ex: (3, 3, 3, 3, 3, ...)
  - 3. PA decrescente: r < 0 (a razão é negativa) Qualquer termo dessa PA é menor do que o seu antecessor.
    - Ex: (0, -2, -4, -6, -8, ...)